Trắc nghiệm toán 8 bài 2 chương 8 chân trời sáng tạo có đáp án — Không quảng cáo

Phương pháp giải :

Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ nhất của hai tam giác: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Vì \(\frac{3}{8} = \frac{6}{{18}}\left( { = \frac{1}{2}} \right) \ne \frac{4}{{15}}\) nên hai tam giác có độ dài các cạnh 3cm; 4cm; 6cm và 9 cm; 15cm; 18 cm không đồng dạng với nhau

Vì \(\frac{4}{8} = \frac{5}{{10}} = \frac{6}{{12}}\) nên hai tam giác có độ dài các cạnh là 4cm; 5cm; 6cm và 8cm; 10cm; 12cm đồng dạng với nhau theo trường hợp thứ nhất. Chọn B

Vì \(\frac{6}{3} = \frac{6}{3} \ne \frac{5}{5}\) nên hai tam giác có độ dài các cạnh là 6cm; 5 cm; 6 cm và 3cm; 5cm; 3 cm không đồng dạng với nhau.

Vì \(\frac{5}{{10}} = \frac{7}{{14}} \ne \frac{{10}}{{18}}\) nên hai tam giác có độ dài các cạnh là 5cm; 7cm; 1 dm và 10cm; 14cm; 18 cm không đồng dạng với nhau.

Phương pháp giải :

Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác để xét tỉ số các cạnh của hai tam giác.

Lời giải chi tiết :

Vì \(\frac{{AB}}{{NP}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4};\frac{{AC}}{{NM}} = \frac{9}{{12}} = \frac{3}{4};\frac{{BC}}{{PM}} = \frac{{12}}{{16}} = \frac{3}{4}\)

Nên \(\frac{{AB}}{{NP}} = \frac{{AC}}{{NM}} = \frac{{BC}}{{PM}} = \frac{3}{4} \Rightarrow \Delta ABC \backsim \Delta NPM\)

Phương pháp giải :

Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ nhất của hai tam giác: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

\(\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{AC}}{{MP}} = \frac{{BC}}{{NP}} \Rightarrow \Delta ABC \backsim \Delta MNP\)

Phương pháp giải :

Từ hai tam giác đồng dạng suy ra các cạnh tương ứng tỉ lệ

Lời giải chi tiết :

\(\begin{array}{l}\Delta ABC \backsim \Delta MNP\\ \Rightarrow \frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{AC}}{{MP}} = \frac{{BC}}{{NP}}\\ \Rightarrow \frac{3}{6} = \frac{{AC}}{5} = \frac{4}{{NP}}\\ \Rightarrow AC = \frac{{3.5}}{6} = 2,5(cm)\\ \Rightarrow NP = \frac{{4.6}}{3} = 8(cm)\end{array}\)

Vậy AC = 2,5cm; NP = 8cm

Phương pháp giải :

Tính tỉ số đồng dạng của hai tam giác từ đó suy ra tỉ số chu vi của hai tam giác.

Lời giải chi tiết :

Vì \(\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2};\frac{{AC}}{{MP}} = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2};\frac{{BC}}{{NP}} = \frac{7}{{14}} = \frac{1}{2}\)

Suy ra: \(\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{AC}}{{MP}} = \frac{{BC}}{{NP}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \Delta ABC \backsim \Delta MNP\) theo tỉ số đồng dạng là \(\frac{1}{2}\)

Vì \(\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{AC}}{{MP}} = \frac{{BC}}{{NP}} = \frac{{AB + AC + BC}}{{MN + MP + NP}} = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow \frac{{C{V_{\Delta ABC}}}}{{C{V_{\Delta MNP}}}} = \frac{1}{2}\)

Phương pháp giải :

Tính tỉ số của các cạnh tương ứng của hai tam giác suy ra tỉ số đồng dạng của hai tam giác.

Lời giải chi tiết :

Vì \(\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{5}{3};\frac{{AC}}{{DF}} = \frac{{7,5}}{{4,5}} = \frac{5}{3};\frac{{BC}}{{EF}} = \frac{{10}}{6} = \frac{5}{3}\)

Suy ra: \(\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DF}} = \frac{{BC}}{{EF}} = \frac{5}{3} \Rightarrow \Delta ABC \backsim \Delta DEF\) với tỉ số đồng dạng là \(\frac{5}{3}\)

Tỉ số của các cạnh tương ứng là tỉ số đồng dạng của hai tam giác.

Phương pháp giải :

Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ nhất của hai tam giác: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Vì \(\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2};\frac{{AB}}{{DC}} = \frac{6}{{12}} = \frac{1}{2};\frac{{B{\rm{D}}}}{{BC}} = \frac{8}{{16}} = \frac{1}{2}\)

Suy ra: \(\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AB}}{{DC}} = \frac{{DB}}{{BC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \Delta A{\rm{D}}B \backsim \Delta DBC\) (Trường hợp đồng dạng thứ nhất),

Phương pháp giải :

Tính tỉ số đồng dạng của hai tam giác từ đó suy ra tỉ số chu vi của hai tam giác.

Lời giải chi tiết :

Vì \(\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{1}{3};\frac{{MP}}{{AC}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3};\frac{{NP}}{{BC}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\)

Suy ra: \(\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{MP}}{{AC}} = \frac{{NP}}{{BC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \Delta MNP \backsim \Delta ABC\) theo tỉ số đồng dạng \(\frac{1}{3}\) .

Vì \(\begin{array}{l}\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{MP}}{{AC}} = \frac{{NP}}{{BC}} = \frac{{MN + MP + NP}}{{AB + AC + BC}} = \frac{1}{3}\\ \Rightarrow \frac{{C{V_{\Delta MNP}}}}{{C{V_{\Delta ABC}}}} = \frac{1}{3}\end{array}\)

Phương pháp giải :

Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ nhất của hai tam giác: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

\(\Delta ABC \backsim \Delta {A_1}{B_1}{C_1}\) \( \Rightarrow \frac{{AB}}{{{A_1}{B_1}}} = \frac{{AC}}{{{A_1}{C_1}}} = \frac{{BC}}{{{B_1}{C_1}}}\) (các cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow \frac{{{A_1}{B_1}}}{{AB}} = \frac{{{A_1}{C_1}}}{{AC}} = \frac{{{B_1}{C_1}}}{{BC}}\) (Tính chất tỉ lệ thức)

\( \Rightarrow \frac{{{B_1}{C_1}}}{{BC}} = \frac{{{A_1}{C_1}}}{{AC}} = \frac{{{A_1}{B_1}}}{{AB}}\) ( Tính chất tỉ lệ thức)

\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{{A_1}{B_1}}} = \frac{{{A_1}{C_1}}}{{AC}} = \frac{{BC}}{{{B_1}{C_1}}}\) là khẳng định sai

Phương pháp giải :

Áp dụng tỉ số đồng dạng để tính độ dài của các cạnh.

Lời giải chi tiết :

Theo đầu bài tam giác ABC có độ dài các cạnh lần lượt tỉ lệ với \(4:5:6\)

Và \(\Delta ABC \backsim \Delta A'B'C'\) nên \(\Delta A'B'C'\) cũng có độ dài các cạnh tỉ lệ với \(4:5:6\)

Giả sử \(A'B' < A'C' < B'C' \Rightarrow A'B' = 2cm\)

\( \Rightarrow \frac{{A'B'}}{4} = \frac{{A'C'}}{5} = \frac{{B'C'}}{6} \Rightarrow \frac{{A'C'}}{5} = \frac{{B'C'}}{6} = \frac{2}{4}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A'C' = \frac{{5.2}}{4} = 2,5(cm)\\ \Rightarrow B'C' = \frac{{6.2}}{4} = 3(cm)\end{array}\)

Độ dài các cạnh còn lại của tam giác A’B’C’ lần lượt là 2,5cm ; 3cm.

Phương pháp giải :

Dựa vào hai tam giác đồng dạng suy ra tỉ số các cạnh tương ứng rồi tính độ dài của các cạnh chưa biết.

Lời giải chi tiết :

Theo đề bài:

Tam giác thứ nhất có cạnh lần lượt là 8; x; y (8 < x < y)

Tam giác thứ hai có cạnh lần lượt là x; y ; 27 ( x < y < 27)

Để hai tam giác đồng dạng cần:

\(\begin{array}{l}\frac{8}{x} = \frac{x}{y} = \frac{y}{{27}}\\ \Rightarrow xy = 8.27;{x^2} = 8y\\ \Rightarrow y = \frac{{8.27}}{x};{x^2} = 8.\frac{{8.27}}{x} \Rightarrow {x^3} = 64.27 = {\left( {4.3} \right)^3}\end{array}\)

Vậy x = 12cm; y = 18cm

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác và tỉ số đồng dạng để tính chu vi của tam giác PQR.

Lời giải chi tiết :

Vì P, Q, R lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng OA, OB, OC. Nên PQ, QR, RP lần lượt là đường trung bình của các tam giác AOB; BOC; AOC. Nên ta có:

\(\frac{{PQ}}{{AB}} = \frac{{Q{\rm{R}}}}{{BC}} = \frac{{P{\rm{R}}}}{{AC}} = \frac{1}{2}\)

Suy ra: \(\Delta PQ{\rm{R}} \backsim \Delta ABC\)

Vì:

\(\begin{array}{l}\frac{{PQ}}{{AB}} = \frac{{Q{\rm{R}}}}{{BC}} = \frac{{P{\rm{R}}}}{{AC}} = \frac{{PQ + Q{\rm{R}} + P{\rm{R}}}}{{AB + BC + AC}} = \frac{{C{V_{\Delta PQ{\rm{R}}}}}}{{C{V_{\Delta ABC}}}}\\ \Rightarrow \frac{{C{V_{\Delta PQ{\rm{R}}}}}}{{C{V_{\Delta ABC}}}} = \frac{1}{2} \Rightarrow C{V_{\Delta PQ{\rm{R}}}} = \frac{{C{V_{\Delta ABC}}}}{2} = \frac{{450}}{2} = 225(cm)\end{array}\)

Phương pháp giải :

Áp dụng định lí Pythagore để tính độ dài của các cạnh từ đó suy ra tỉ số chu vi của hai tam giác.

Lời giải chi tiết :

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A ta có:

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \Rightarrow B{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100 \Rightarrow BC = 10(cm)\)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác A’B’C’ vuông tại A’ ta có:

\(A'B{'^2} + A'C{'^2} = B'C{'^2} \Rightarrow B'C{'^2} = {3^2} + {4^2} = 25 \Rightarrow B'C' = 5(cm)\)

Ta thấy: \(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{6}{3} = 2;\frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{8}{4} = 2;\frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{10}}{5} = 2\)

\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{AB + AC + BC}}{{A'B' + A'C' + B'C'}} = \frac{{C{V_{\Delta ABC}}}}{{C{V_{\Delta A'B'C'}}}} = 2\)

Vì \(\Delta ABC \backsim \Delta A'B'C'\) tỉ số chu vi của hai tam giác là 2.

Phương pháp giải :

Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ hai của hai tam giác: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Hai tam giác đồng dạng với nhau theo trường hợp cạnh - góc – cạnh nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau.

Phương pháp giải :

Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ hai của hai tam giác: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\frac{{DE}}{{IL}} = \frac{{EF}}{{LK}}\left( {\frac{{10}}{{20}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}} \right).\)

Để \(\Delta D{\rm{EF}} \backsim \Delta {\rm{ILK(c - g - c)}}\) thì \(\hat E = \hat L\) (hai góc tạo bởi các cặp cạnh)

Phương pháp giải :

Quan sát các hình vẽ và lựa chọn hai tam giác đồng dạng thoe trường hợp thứ hai.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\frac{{BA}}{{BC}} = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2},\frac{{DE}}{{DF}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2},\frac{{PQ}}{{PR}} = \frac{4}{4} = 1\) ,

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta EDF\) ta có: \(\frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{DE}}{{DF}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{BA}}{{DE}} = \frac{{BC}}{{DF}}\) và \(\hat B = \hat D = {60^0}(gt)\)

\( \Rightarrow \Delta ABC \backsim \Delta EDF(c - g - c)\)

Hình 1 và hình 2 là hai tam giác đồng dạng

Phương pháp giải :

Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ hai của hai tam giác: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\frac{{BA}}{{BC}} = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2},\frac{{DE}}{{DF}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{DE}}{{DF}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{BA}}{{DE}} = \frac{{BC}}{{DF}}\)

Để hai tam giác đã cho đồng dạng thì \(\hat B = \hat D = {60^0}\) .

Phương pháp giải :

Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ hai của hai tam giác: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\widehat A = \widehat {{A'}}\) và \(\frac{{{A'}{B'}}}{{AB}} = \frac{{{A'}{C'}}}{{AC}}\) thì \(\Delta {A'}{B'}{C'} \backsim \Delta ABC\) (c-g-c)

Phương pháp giải :

Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác.

Lời giải chi tiết :

\(\Delta MNP \backsim \Delta KIH \Rightarrow \frac{{MN}}{{KI}} = \frac{{MP}}{{KH}} \Leftrightarrow \frac{2}{{KI}} = \frac{8}{4} \Rightarrow KI = 1(cm)\)

Phương pháp giải :

Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ hai của hai tam giác và định lí Ta let đảo.

Lời giải chi tiết :

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta ABC\) ta có: \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}}.\) (gt); \(\hat A\) chung

\( \Rightarrow \Delta ADE \backsim \Delta ABC(c - g - c)\)

\( \Rightarrow \widehat {ADE} = \widehat {ABC}\) (cặp góc tương ứng)

\( \Rightarrow \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{BC}}\)

\( \Rightarrow DE//BC\) (định lý Ta lét đảo)

Phương pháp giải :

Chứng minh \(\Delta ANM \backsim \Delta ABC(c - g - c)\) từ đó suy ra các cạnh tương ứng tỉ lệ và tính độ dài đoạn MN.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\frac{{AN}}{{AB}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3},\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{6}{{18}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{AM}}{{AC}} = \frac{1}{3}\)

Xét \(\Delta ANM\) và \(\Delta ABC\) có: \(\frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{AM}}{{AC}}(cmt);\hat A\) chung

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta ANM \backsim \Delta ABC(c - g - c)\\ \Rightarrow \frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{CB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{MN}}{{15}} = \frac{1}{3} \Rightarrow MN = \frac{{15}}{3} = 5(cm).\end{array}\)

Phương pháp giải :

Chứng minh hai tam giác đồng dạng từ đó suy ra các cạnh tương ứng tỉ lệ và tính độ dài của x.

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3},\frac{{AC}}{{CD}} = \frac{9}{{13,5}} = \frac{2}{3}\)

\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{CD}} = \frac{2}{3}\)

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta CAD\) có: \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{CD}}(cmt),\widehat {BAC} = \widehat {ACD}\) (so le trong, AB//CD )

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta ABC \backsim \Delta CAD(c - g - c)\\ \Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{CA}}{{CD}} = \frac{{BC}}{{AD}} = \frac{2}{3}\\ \Rightarrow \frac{{10}}{x} = \frac{2}{3} \Rightarrow x = \frac{{10.3}}{2} = 15\end{array}\)

Phương pháp giải :

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HAC\) có các cạnh tương ứng tỉ lệ và suy ra hệ thức.

Lời giải chi tiết :

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HAC\) có: \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2},\frac{{AH}}{{HC}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{HC}} = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow AB.HC = AH.AC\end{array}\)

Phương pháp giải :

Áp dụng hai tam giác đồng dạng và định lí Pythagore để tính độ dài cạnh BC.

Lời giải chi tiết :

\(\Delta ABD\) và \(\Delta BDC\) có: \(\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\) (so le trong, AB//CD)

\(\frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{BD}}{{DC}}\) (Vì \(\frac{{16}}{{20}} = \frac{{20}}{{25}})\)

Do đó \(\Delta ABD \backsim \Delta BDC(c - g - c)\)

Ta có \({\rm{\hat A = 90}}{}^0\) nên \(\widehat {DBC} = {90^0}\) . Theo định lí Pytago, ta có:

\(B{C^2} = C{D^2} - B{D^2} = {25^2} - {20^2} = {15^2}\) .Vậy BC= 15 (cm)

Phương pháp giải :

Tỉ số đồng dạng bằng với tỉ số đường trung tuyến tương ứng.

Lời giải chi tiết :

Ta có tỉ số đồng dạng bằng với tỉ số đường trung tuyến tương ứng \(\frac{{M{M'}}}{{E{E '}}} = k\)

Tỉ số đồng dạng bằng với tỉ số đường trung tuyến tương ứng.

Phương pháp giải :

Chứng minh \(\Delta AKH \backsim \Delta BCA(c - g - c) \Rightarrow \widehat {AKH} = \widehat {ACB} = {60^0}\)

Lời giải chi tiết :

Vì \(AD.AH = AB.AK( = {S_{ABCD}})\) nên \(\frac{{AH}}{{AK}} = \frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AB}}{{BC}}\)

Ta lại có AB//CD (vì ABCD là hình bình hành) mà \(AK \bot DC \Leftrightarrow AK \bot AB \Rightarrow \widehat {BAK} = {90^0}\)

Từ đó \(\widehat {HAK} = \widehat {ABC}\) (cùng phụ với \(\widehat {BAH}\) )

Nên \(\Delta AKH \backsim \Delta BCA(c - g - c) \Rightarrow \widehat {AKH} = \widehat {ACB} = {60^0}\)

Phương pháp giải :

Chứng minh \(\Delta ACB \backsim \Delta ECA\) (c-g-c) suy ra \(\hat B = \widehat {CAE}\) tức là \(\hat B = \frac{{\hat A}}{2}\)

Lời giải chi tiết :

Kẻ đường phân giác AE của \(\Delta ABC\) . Theo tính chất đường phân giác, ta có:

\(\frac{{BE}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{9}{{16}}\) hay \(\frac{{BE}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{AC}}\)

Nên \(\frac{{BE + EC}}{{AB+AC}} = \frac{{20}}{{9+16}}=\frac{4}{5}\)

Hay \(\frac{{CE}}{{AC}} = \frac{{CE}}{{16}} =\frac{4}{5} \Rightarrow EC = 12,8(cm)\)

Xét \(\Delta ACB\) và \(\Delta ECA\) có: \(\hat C\) là góc chung

\(\frac{{AC}}{{EC}} = \frac{{CB}}{{CA}}\) (vì \(\frac{{16}}{{12,8}} = \frac{{20}}{{16}})\)

Do đó \(\Delta ACB \backsim \Delta ECA\) (c-g-c) suy ra \(\hat B = \widehat {CAE}\) tức là \(\hat B = \frac{{\hat A}}{2}\)

Phương pháp giải :

Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ hai của hai tam giác: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Do BC//AN (Vì \(N \in AD\) ) nên ta có: \(\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{MC}}{{NC}}\)  (1)

Do CD//AM (Vì \(M \in AB\) ) nên ta có: \(\frac{{MC}}{{NC}} = \frac{{AD}}{{DN}}\)  (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{DN}}\)

\(\Delta ABD\) có AB = AD (định nghĩa hình thoi) và \(\hat A = {60^0}\) nên \(\Delta ABD\) là tam giác đều

\( \Rightarrow AB = BD = DA\)

Từ \( \Rightarrow \frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{DN}}(cmt) \Rightarrow \frac{{MB}}{{BD}} = \frac{{BD}}{{DN}}\)

Mặt khác \(\widehat {MBD} = \widehat {DBN} = {120^0}\)

Xét \(\Delta MBD\) và \(\Delta BDN\) có: \(\frac{{MB}}{{BD}} = \frac{{BD}}{{DN}},\widehat {MBD} = \widehat {DBN}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta MBD \backsim \Delta BDN(c - g - c)\\ \Rightarrow \widehat {BMD} = \widehat {DBN}\end{array}\)

Xét \(\Delta MBD\) và \(\Delta KBD\) có: \(\widehat {MBD} = \widehat {DBN},\widehat {BDM}\) chung

\( \Rightarrow \widehat {BKD} = \widehat {MDB} = {120^0}\)

Vậy \(\widehat {BKD} = {120^0}\)

Phương pháp giải :

Chứng minh \(\Delta AMB \backsim \Delta DCM(c - g - c)\) suy ra số đo góc BMC.

Lời giải chi tiết :

Kẻ \(BK \bot CD(K \in CD)\) thì tứ giác ABKD là hình có 3 góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Do đó: \(DK = AB = 4(cm) \Rightarrow KC = DC - DK = 9 - 4 = 5(cm)\)

Tam giác KBC vuông tại K, theo định lý Pytago ta có:

\(B{C^2} = C{K^2} + K{B^2}\) hay \({13^2} = {5^2} + K{B^2} \Rightarrow KB = 12(cm)\) nên \( \Rightarrow AD = KB = 12(cm)\)

M là trung điểm của AD nên \(AM = MD = \frac{1}{2}AD = 6(cm)\)

Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta DCM\) có: \(\frac{{AB}}{{DM}} = \frac{4}{6} = \frac{6}{9} = \frac{{AM}}{{DC}},\widehat {MAB} = \widehat {MDC} = {90^0}\)

\( \Rightarrow \Delta AMB \backsim \Delta DCM(c - g - c)\)

\( \Rightarrow \widehat {AMB} = \widehat {DCM}\) mà \(\widehat {DMC} + \widehat {DCM} = {90^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {AMB} + \widehat {DCM} = {90^0} \Rightarrow \widehat {BMC} = {90^0}\)

Phương pháp giải :

: Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ ba của hai tam giác.

Lời giải chi tiết :

\(\Delta MNP\) có \(\widehat{M}=90{}^\circ \) , \(\widehat{P}=50{}^\circ \) \(\Rightarrow \widehat{N}=40{}^\circ \) .

\(\Delta MNP\) và \(\Delta DEF\) có \(\widehat{M}=\widehat{D}\) (gt) cần thêm điều kiện \(\widehat{E}=40{}^\circ \) thì \(\Rightarrow \widehat{N}=\widehat{E}=40{}^\circ \)

Lúc này \(\Delta MNP\backsim \Delta DEF\) (g – g ).

Phương pháp giải :

Chứng minh \(\Delta DEF\,\backsim \,\Delta SRK\) (g – g) rồi suy ra các tỉ số đồng dạng

Lời giải chi tiết :

\(\Delta DEF\) có \(\widehat{D}+\widehat{E}+\widehat{F}=180{}^\circ \Rightarrow 70{}^\circ +60{}^\circ +\widehat{F}=180{}^\circ \Rightarrow \widehat{F}=50{}^\circ \) .

\(\Delta DEF\) và \(\Delta SRK\) có \(\widehat{D}=\widehat{S}=70{}^\circ \) và \(\widehat{F}=\widehat{K}=50{}^\circ \) nên \(\Delta DEF\,\backsim \,\Delta SRK\) (g – g).

Suy ra \(\frac{DE}{SR}=\frac{DF}{SK}=\frac{EF}{RK}\) .

Phương pháp giải :

Chứng minh \(\Delta ABC\) và \(\Delta HBA\) đồng dạng với nhau theo trường hợp góc – góc.

Lời giải chi tiết :

\(\Delta ABC\) và \(\Delta HBA\) có góc \( \widehat{B}\) chung, \(\widehat{BAC}=\widehat{AHB}=90{}^\circ \) nên \(\Delta ABC\,\backsim \Delta HBA\) (g – g)

Phương pháp giải :

Chứng minh \(\Delta HCA\,\, \backsim \,\Delta HAB\)nên suy ra hệ thức đúng.

Lời giải chi tiết :

Xét \(\Delta HCA\) và \(\Delta HAB\) có:

\(\widehat {HAC} = \widehat B\) (Vì cùng phụ với \(\widehat {HAB}\) ); \(\widehat {CHA} = \widehat {AHB} = 90^\circ \)

nên \(\Delta HCA\,\, \backsim \,\Delta HAB\) (g – g ) \( \Rightarrow \frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{CH}}{{AH}} \Leftrightarrow A{H^2} = BH.CH\).

Phương pháp giải :

Chứng minh  (g – g )

Lời giải chi tiết :

Vì \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) (gt) nên \(\widehat {ABO} = \widehat {ODC}\) (cặp góc so le trong) .

\({\rm{\Delta }}OAB\) và \(\,\Delta OCD\) có:

\(\widehat {ABO} = \widehat {ODC}\) (chứng minh trên); \(\widehat {AOB} = \widehat {COD}\) (hai góc đối đỉnh)

Nên \({\rm{\Delta }}OAB \backsim \,\Delta OCD\) (g – g ).

Phương pháp giải :

Chứng minh \(\Delta \,ADB\,\, \backsim \Delta BCD\) (g – g ) nên suy ra tỉ số các cạnh tương ứng từ đó tính độ dài cạnh CD.

Lời giải chi tiết :

Vì \(AB\,{\rm{//}}\,CD \Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {BDC}\) (cặp góc so le trong).

Xét \(\Delta \,ADB\) và \(\Delta \,BCD\) có:

\(\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\) (chứng minh trên); \(\widehat {ADB} = \widehat {BCD}\) (gt)

Nên \(\Delta \,ADB\, \backsim \Delta BCD\) (g – g ).

\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{DB}}{{CD}} \Leftrightarrow \frac{2}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{{CD}} \Leftrightarrow CD = \frac{{\sqrt 5 .\sqrt 5 }}{2} = \frac{5}{2} = 2,5\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Phương pháp giải :

Chứng minh \(\Delta \,ABD\,\, \backsim \Delta BDC\) (g – g) nên suy ra tỉ số các cạnh tương ứng và độ dài của cạnh BD.

Lời giải chi tiết :

Ta có \(AB\,{\rm{//}}\,{\rm{CD}}\) ( vì cùng vuông góc với \(A{\rm{D}}\)).\( \Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {BDC}\) (cặp góc so le trong)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta BDC\) có:

\(\widehat {BAD} = \widehat {DBC} = 90^\circ \); \(\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\) (chứng minh trên)

Nên \(\Delta \,ABD\,\, \backsim \,\Delta BDC\) (g – g) \( \Rightarrow \frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{BD}}{{DC}} \Rightarrow B{D^2} = AB.DC = 4.9 = 36 \Rightarrow BD = 6\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Phương pháp giải :

Chứng minh \(\Delta HCA\, \backsim  \Delta HAB\) (g – g ) suy ra tỉ số các cạnh tương ứng và độ dài của AH.

Lời giải chi tiết :

Xét \(\Delta HCA\) và \(\Delta HAB\) có :

\(\widehat {HAC} = \widehat B\) (Vì cùng phụ với \(\widehat {HAB}\)) ;  \(\widehat {CHA} = \widehat {AHB} = 90^\circ \)

nên \(\Delta HCA\, \backsim  \Delta HAB\) (g – g ) \( \Rightarrow \frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{CH}}{{AH}} \Leftrightarrow A{H^2} = BH.CH\) .

\( \Leftrightarrow A{H^2} = 4.9 = 36 \Rightarrow AH = 6\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\) .

Phương pháp giải :

Chứng minh \(\Delta ABC\, \backsim \Delta ADB\) (g– g ) \( \Rightarrow \frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AC}}{{AB}} \Leftrightarrow AD = \frac{{AB.AB}}{{AC}} = \frac{{3.3}}{{4,5}} = 2\,({\rm{cm)}}\)

Lời giải chi tiết :

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta ADB\) có:

Góc \(A\) chung, \(\widehat {ACB} = \widehat {ABD}\) (gt)

Nên \(\Delta ABC\, \backsim \,\Delta ADB\) (g– g ) \( \Rightarrow \frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AC}}{{AB}} \Leftrightarrow AD = \frac{{AB.AB}}{{AC}} = \frac{{3.3}}{{4,5}} = 2\,({\rm{cm)}}\)

Phương pháp giải :

Áp dụng định lí Pythagore và hai tam giác \(\Delta ABC\) và \(\Delta HBA\) đồng dạng với nhau để tìm độ dài của đường cao AH.

Lời giải chi tiết :

.

\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{{30}^2} + {{40}^2}}  = \sqrt {2500}  = 50\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

\(\Delta ABC\) và \(\Delta HBA\) có góc \(B\) chung, \(\widehat {BAC} = \widehat {AHB} = 90^\circ \) nên \(\Delta ABC\,\, \backsim \,\Delta HBA\) (g – g ).

\( \Rightarrow \frac{{AC}}{{AH}} = \frac{{BC}}{{AB}} \Leftrightarrow \frac{{40}}{{AH}} = \frac{{50}}{{30}} \Leftrightarrow AH = \frac{{40.30}}{{50}} = 24\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Phương pháp giải :

Chứng minh \(\Delta AHC \backsim \Delta BKC\) ( g – g )\( \Rightarrow \frac{{AH}}{{BK}} = \frac{{CA}}{{CB}}\,\,\,\, \Leftrightarrow BK = \frac{{AH.CB}}{{CA}} = \frac{{4.6}}{5} = 4,8\left( {{\rm{cm}}} \right)\,\)

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) \( \Rightarrow AC = AB = 5\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên \(AH\) là đường cao đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh \(BC\) \( \Rightarrow HB = HC = \frac{{BC}}{2} = \frac{6}{2} = 3\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(ABH\) ta có:

\(A{H^2} = A{B^2} - H{B^2} = {5^2} - {3^2} = 16\) \( \Rightarrow AH = 4\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\)

Xét \(\Delta AHC\) và \(\Delta BKC\) có: góc \(C\) chung; \(\widehat {AHC} = \widehat {BKC} = 90^\circ \).

Nên \(\Delta AHC \backsim \Delta BKC\) ( g – g )\( \Rightarrow \frac{{AH}}{{BK}} = \frac{{CA}}{{CB}}\,\,\,\, \Leftrightarrow BK = \frac{{AH.CB}}{{CA}} = \frac{{4.6}}{5} = 4,8\left( {{\rm{cm}}} \right)\,\).

Phương pháp giải :

Chứng minh \(\Delta ABC\, \backsim \,\Delta ADB\) ( g – g ) suy ra tỉ số các cạnh từ đó tính độ dài của cạnh BD.

Lời giải chi tiết :

\(\Delta ABC\) có \(\widehat A = 90^\circ \) nên \(\widehat B + \widehat C = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {ACB} = 30^\circ \).

Vì \(BD\) là phân giác của \(\widehat B\) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {DBC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} = 30^\circ \).

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta ADB\) có: \(\widehat {ACB} = \widehat {ABD} = 30^\circ \); \(\widehat A\) chung

Nên \(\Delta ABC \backsim \Delta ADB\) ( g – g ) \( \Rightarrow \frac{{BC}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{AB}} \Leftrightarrow BD = \frac{{AB.BC}}{{AC}}\).

Xét \(\Delta ABC\) có \(\widehat A = 90^\circ \), \(\widehat C = 30^\circ \) nên \(\Delta ABC\) là nửa tam giác đều \( \Rightarrow BC = 2AB\).

Áp dụng định lí Pytago vào \(\Delta ABC\) có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \Leftrightarrow {\left( {2AB} \right)^2} = A{B^2} + {18^2} \Leftrightarrow 3A{B^2} = 324 \Leftrightarrow AB = \sqrt {108} \,{\rm{cm}}\).

\( \Rightarrow BC = 2\sqrt {108} \,{\rm{cm}}\). Từ đó \(BD = \frac{{AB.BC}}{{AC}} = \frac{{\sqrt {108} .2\sqrt {108} }}{{18}} = 12\,({\rm{cm)}}\).

Phương pháp giải :

Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta DEF\) có \(\widehat{A}=\widehat{D}\) , \(\widehat{C}=\widehat{F}\) nên \(\Delta ABC\backsim \Delta DEF\) (g – g)

Phương pháp giải :

Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

\(\Delta ABC\) có \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{\circ }}\Rightarrow {{70}^{\circ }}+\widehat{B}+{{60}^{\circ }}={{180}^{\circ }}\Leftrightarrow \widehat{B}={{50}^{\circ }}\) .

\(\Delta ABC\) và \(\Delta FED\) có \(\widehat{A}=\widehat{F}=70{}^\circ \) , \(\widehat{B}=\widehat{E}=50{}^\circ \) nên \(\Delta ABC\,\backsim \,\Delta FED\) (g – g ).

Phương pháp giải :

Sử dụng hai tam giác đồng dạng

Lời giải chi tiết :

\(\Delta ABC\,\backsim \,\Delta {A}'{B}'{C}'\Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{{A}'{B}'}{{A}'{C}'}\)

Phương pháp giải :

Quan sát hình vẽ để nhận biết hai tam giác đồng dạng thoe trường hợp thứ ba.

Lời giải chi tiết :

\(\Delta HIG\) và \(\Delta DEF\) có \(\widehat{H}=\widehat{D}\) , \(\widehat{I}=\widehat{E}\) (gt) nên \(\Delta HIG\,\,\backsim \Delta DEF\) (g – g ).

Phương pháp giải :

Sử dụng hai tam giác đồng dạng theo trường hợp thứ ba.

Lời giải chi tiết :

Hai tam giác đồng dạng với nhau theo trường hợp góc – góc nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia.

Phương pháp giải :

Chứng minh hai tam giác \(\Delta ABC\) và \(\Delta MNP\) đồng dạng với nhau theo trường hợp góc – góc.

Lời giải chi tiết :

\(\Delta ABC\) và \(\Delta NMP\) có \(\widehat{A}=\widehat{N}\) , \(\widehat{B}=\widehat{M}\) nên \(\Delta ABC\backsim \Delta NMP\) (g – g ).