Trắc nghiệm toán 8 bài 36 kết nối tri thức có đáp án — Không quảng cáo

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác vuông: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Tam giác ABC và tam giác DEF có: \(\widehat {BAC} = \widehat {EDF} = {90^0}, \frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{BC}}{{FE}}\) nên \(\Delta ABC \backsim \Delta DEF\).

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác vuông: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác vuông: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Hình a: Vì đây là hai tam giác vuông và \(\frac{1}{3} = \frac{{1,5}}{{4,5}}\) nên hình a thể hiện hai tam giác đồng dạng.

Hình b không thể hiện hai tam giác đồng dạng

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác vuông: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Tam giác ABC và tam giác MNP có: \(\widehat {BAC} = \widehat {NMP} = {90^0},\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{BC}}{{NP}}\left( { = \frac{1}{2}} \right)\)

Do đó, \(\Delta ABC \backsim \Delta MNP\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác vuông: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{6}{{12}} = \frac{1}{2};\frac{{DE}}{{BC}} = \frac{{10}}{{20}} = \frac{1}{2}\) nên \(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{BC}}\)

Tam giác ADE và tam giác ABC có: \(\widehat {DAE} = \widehat {BAC} = {90^0},\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{BC}}\) nên \(\Delta ADE \backsim \Delta ABC\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác vuông: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Xét tam giác ADC và tam giác ACB có: \(\widehat {ADC} = \widehat {ACB} = {90^0}\), \(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{AC}}\left( { = \frac{2}{3}} \right)\)

Do đó, \(\Delta ADC \backsim \Delta ACB.\)

Do đó, \(\widehat {BAC} = \widehat {CAD}\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác vuông: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Tam giác ADM và tam giác BMC có:

\(\widehat A = \widehat B = {90^0},\frac{{AD}}{{MB}} = \frac{{DM}}{{MC}}\left( { = \frac{2}{3}} \right)\)

Do đó, \(\Delta AMD \backsim \Delta BCM\) nên \(\widehat {ADM} = \widehat {BMC}\)

Mà: \(\widehat {AMD} + \widehat {ADM} = {90^0},\) do đó, \(\widehat {AMD} + \widehat {BMC} = {90^0}\)

Lại có: \(\widehat {AMD} + \widehat {DMC} + \widehat {CMB} = {180^0}\)

Suy ra: \(\widehat {DMC} = {180^0} - \left( {\widehat {AMD} + \widehat {BMC}} \right) = {90^0}\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác vuông: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Tam giác ABC và tam giác CDB có:

\(\widehat A = \widehat {BCD} = {90^0},\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{BC}}{{BD}}\left( { = \frac{2}{3}} \right)\)

Do đó, \(\Delta ABC \backsim \Delta CDB\) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {BDC}\)

Mà \(\widehat {BDC} + \widehat {CBD} = {90^0}\) nên \(\widehat {ABC} + \widehat {CBD} = {90^0}\) hay \(\widehat {ABD} = {90^0}\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác vuông: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\frac{{AB}}{{BH}} = \frac{{20}}{{12}} = \frac{5}{3};AC = \frac{5}{3}AH \Rightarrow \frac{{AC}}{{AH}} = \frac{5}{3} \Rightarrow \frac{{AB}}{{BH}} = \frac{{AC}}{{AH}} \Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BH}}{{AH}}\)

Tam giác ABH và tam giác CAH có: \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = {90^0},\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BH}}{{AH}}\)

Do đó, \(\Delta ABH \backsim \Delta CAH\)

Suy ra: \(\widehat {CAH} = \widehat {ABH}\)

Mà \(\widehat {BAH} + \widehat {ABH} = {90^0}\) nên \(\widehat {BAH} + \widehat {CAH} = {90^0}\) hay \(\widehat {BAC} = {90^0}\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác vuông: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Tam giác ABC cân tại A, AH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác. Do đó, M thuộc AH. Do đó, \(3MH = AH\)

Tam giác A’B’C’ cân tại A’, A’H’ là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác. Do đó, M’ thuộc A’H’. Do đó, \(3M'H' = A'H'\)

Xét tam giác ABH và tam giác A’B’H’ có: \(\widehat {AHB} = \widehat {A'H'B'} = {90^0},\frac{{BH}}{{B'H'}} = \frac{{AB}}{{A'B'}} = 3\)

Suy ra: \(\Delta AHB \backsim \Delta A'H'B'\), do đó, \(\frac{{AH}}{{A'H'}} = 3 \Rightarrow \frac{{3HM}}{{3H'M'}} = 3 \Rightarrow \frac{{HM}}{{H'M'}} = 3\)

Tam giác BHM và tam giác B’H’M’ có:

\(\widehat {MHB} = \widehat {M'H'B'} = {90^0},\frac{{HM}}{{HM'}} = \frac{{BH}}{{B'H'}} = 3\)

Do đó, \(\Delta BMH \backsim \Delta B'M'H'\)  nên \(\frac{{BM}}{{B'M'}} = \frac{{BH}}{{B'H'}} = 3\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác vuông: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Tam giác ABC và tam giác CDB có:

\(\widehat A = \widehat {BCD} = {90^0},\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{BC}}{{BD}}\left( { = \frac{2}{3}} \right)\)

Do đó, \(\Delta ABC \backsim \Delta CDB\) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {BDC}\)

Mà \(\widehat {BDC} + \widehat {CBD} = {90^0}\) nên \(\widehat {ABC} + \widehat {CBD} = {90^0}\) hay \(\widehat {ABD} = {90^0}\)

Do đó, tam giác ABD vuông tại B

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A có:

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)

\(A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = 20\)

\(AB = \sqrt {20} cm\)

Do tam giác ABD vuông tại B nên diện tích tam giác ABD là:

\(\frac{1}{2}AB.BD = \frac{1}{2}.\sqrt {20} .9 = \frac{9}{2}\sqrt {20} \left( {c{m^2}} \right)\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác vuông: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABH vuông tại H có: \(A{B^2} = B{H^2} + A{H^2}\)

\(A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = 400\) nên \(AH = 20cm \Rightarrow AC = \frac{5}{3}.20 = \frac{{100}}{3}\left( {cm} \right)\)

Ta có: \(\frac{{AB}}{{BH}} = \frac{{25}}{{15}} = \frac{5}{3};AC = \frac{5}{3}AH \Rightarrow \frac{{AC}}{{AH}} = \frac{5}{3} \Rightarrow \frac{{AB}}{{BH}} = \frac{{AC}}{{AH}} \Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BH}}{{AH}}\)

Tam giác ABH và tam giác CAH có: \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = {90^0},\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BH}}{{AH}}\)

Do đó, \(\Delta ABH \backsim \Delta CAH \Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{CH}} \Rightarrow CH = \frac{{AH.AC}}{{AB}} = \frac{{80}}{3}cm\)

Vậy chu vi tam giác AHC là: \(AH + HC + AC = 20 + \frac{{80}}{3} + \frac{{100}}{3} = 80\left( {cm} \right)\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác vuông: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Tam giác ADM và tam giác BMC có:

\(\widehat A = \widehat B = {90^0},\frac{{AD}}{{MB}} = \frac{{DM}}{{MC}}\left( { = \frac{2}{3}} \right)\)

Do đó, \(\Delta AMD \backsim \Delta BCM\) nên \(\widehat {ADM} = \widehat {BMC}\)

Mà: \(\widehat {AMD} + \widehat {ADM} = {90^0},\) do đó, \(\widehat {AMD} + \widehat {BMC} = {90^0}\)

Lại có: \(\widehat {AMD} + \widehat {DMC} + \widehat {CMB} = {180^0}\)

Suy ra: \(\widehat {DMC} = {180^0} - \left( {\widehat {AMD} + \widehat {BMC}} \right) = {90^0}\)

Do đó, tam giác DMC vuông tại M

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác DMC vuông tại M có:

\(D{C^2} = D{M^2} + M{C^2} = 117\) nên \(DC = \sqrt {117} cm\)

Vậy chu vi tam giác DMC là: \(DM + MC + DC = 6 + 9 + \sqrt {117}  = 15 + \sqrt {117} \left( {cm} \right)\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác vuông: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Tam giác BHC và tam giác B’H’C’ có: \(\widehat {BHC} = \widehat {B'H'C'} = {90^0},\frac{{BH}}{{B'H'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{3}{2}\)

Do đó, \(\Delta BHC \backsim \Delta B'H'C'\)

Suy ra: \(\widehat C = \widehat {C'}\), mà tam giác ABC cân tại A, tam giác A’B’C’ cân tại A’ nên \(\widehat B = \widehat {B'} = \widehat C = \widehat {C'}\)

Do đó, \(\Delta ABC \backsim \Delta A'B'C'\) nên \(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{2}{3}\)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{AB + BC + AC}}{{A'B' + B'C' + A'C'}} = \frac{2}{3}\)

Mà chu vi tam giác ABC bằng 60cm nên chu vi tam giác A’B’C’ là: \(60:\frac{3}{2} = 40\left( {cm} \right)\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác vuông: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Tam giác BHC và tam giác B’H’C’ có: \(\widehat {BHC} = \widehat {B'H'C'} = {90^0},\frac{{CH}}{{C'H'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}}\)

Do đó, \(\Delta BHC \backsim \Delta B'H'C'\)

Suy ra: \(\widehat C = \widehat {C'}\), mà tam giác ABC cân tại A, tam giác A’B’C’ cân tại A’ nên \(\widehat B = \widehat {B'} = \widehat C = \widehat {C'}\)

Do đó, \(\widehat {BAC} = 4\widehat {ACB} = 4\widehat {ABC}\)

Lại có: \(\widehat {BAC} + \widehat {ACB} + \widehat {ABC} = {180^0} \Rightarrow 6\widehat {ACB} = {180^0} \Rightarrow \widehat {ACB} = {30^0} \Rightarrow \widehat {BAC} = {120^0}\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác vuông: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác CDB vuông ở C ta có:

\(B{D^2} = D{C^2} + C{B^2}\)

\(D{C^2} = {30^2} - {24^2} = 324 \Rightarrow DC = 18cm\)

Xét tam giác BEA và tam giác DBC có:

\(\widehat A = \widehat C = {90^0},\frac{{BE}}{{BD}} = \frac{{BA}}{{DC}}\left( { = \frac{1}{3}} \right)\)

Do đó, \(\Delta BEA \backsim \Delta DBC\), suy ra \(\widehat {EBA} = \widehat {BDC}\)

Mà \(\widehat {DBC} + \widehat {BDC} = {90^0} \Rightarrow \widehat {DBC} + \widehat {EBA} = {90^0}\)

Lại có: \(\widehat {DBC} + \widehat {EBD} + \widehat {EBA} = {180^0}\) nên \(\widehat {EBD} = {90^0}\)

Do đó, tam giác BDE vuông tại B.

Diện tích tam giác EBD là : \(\frac{1}{2}BE.BD = \frac{1}{2}.10.30 = 150\left( {c{m^2}} \right)\)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác EBD vuông tại B có:

\(E{D^2} = E{B^2} + B{D^2} = {10^2} + {30^2} = 1000 \Rightarrow ED = \sqrt {1000} cm\)

Chu vi tam giác EBD là: \(EB + BD + ED = 10 + 30 + \sqrt {1000}  = 40 + \sqrt {1000} \left( {cm} \right)\)

Vậy có 1 khẳng định đúng.

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác vuông: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Vì \(AC = 3AB \Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{1}{3},B'D' = 3A'B' \Rightarrow \frac{{A'B'}}{{B'D'}} = \frac{1}{3}\)

Do đó, \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{A'B'}}{{B'D'}} \Rightarrow \frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{B'D'}}\)

Tam giác ABC và tam giác A’B’D’ có:

\(\widehat {ABC} = \widehat {B'A'D'} = {90^0};\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{B'D'}}\) nên \(\Delta ABC \backsim B'A'D'\left( 1 \right)\)

Chứng minh được \(\Delta B'A'D' = \Delta A'B'C'\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có: \(\Delta ABC \backsim \Delta A'B'C'\)

Do đó, \(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{1}{2}\)

Diện tích hình chữ nhật ABCD là: \({S_{ABCD}} = AB.BC\)

Diện tích hình chữ nhật A’B’C’D’ là: \({S _{A'B'C'D'}} = A'B'.B'C'\)

Do đó: \(\frac{{{S_{ABCD}}}}{{{S_{A'B'C'D'}}}} = \frac{{AB.BC}}{{A'B'.B'C'}} = \frac{{AB}}{{A'B'}}.\frac{{BC}}{{B'C'}} = 2.2 = 4\)

\( \Rightarrow {S_{A'B'C'D'}} = \frac{{12}}{4} = 3\left( {c{m^2}} \right)\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác vuông: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Tam giác ABC và tam giác DEF có: \(\widehat {BAC} = \widehat {EDF} = {90^0},\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DF}}\) nên \(\Delta ABC \backsim \Delta DEF\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác vuông: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Hai cạnh góc vuông của tam giác này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì khi đó tỉ lệ của hai cạnh tam giác vuông bằng 1. Do đó, hai tam giác cũng đồng dạng với nhau.

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác vuông: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Tam giác MNP và tam giác DFE có: \(\widehat M = \widehat D = {90^0},\frac{{MN}}{{DF}} = \frac{{MP}}{{DE}}\left( { = \frac{1}{2}} \right)\) nên \(\Delta MNP \backsim \Delta DFE\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác vuông: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Tam giác ABC và tam giác MNP có: \(\widehat {BAC} = \widehat {NMP} = {90^0},\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{AC}}{{MP}}\left( {\frac{3}{{12}} = \frac{5}{{20}}} \right)\)

Do đó, \(\Delta ABC \backsim \Delta MNP\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác vuông: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Xét tam giác ABC và tam giác ADE có: \(\widehat {BAC} = \widehat {DAE} = {90^0}\), \(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AC}}{{AE}}\left( { = \frac{1}{2}} \right)\)

Do đó, \(\Delta ABC \backsim \Delta ADE\)

Do đó, \(\widehat B = \widehat D\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác vuông: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2};\frac{{AC}}{{BD}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) nên \(\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{BD}}\)

Tam giác ABC và tam giác DEB có: \(\widehat {BAC} = \widehat {BDE} = {90^0},\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{BD}}\) nên

Do đó, \(\widehat {CBA} = \widehat {BED}\)

Mà \(\widehat {BED} + \widehat {EBD} = {90^0}\) nên \(\widehat {ABC} + \widehat {EBD} = {90^0}\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác vuông: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Tam giác AHB và tam giác CAH có:\(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = {90^0},\frac{{BH}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{HC}}\left( { = \frac{2}{3}} \right)\)

Do đó, \(\Delta AHB \backsim \Delta CAH\)

Suy ra: \(\widehat {BAH} = \widehat C\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác vuông: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Tam giác ABC và tam giác A’B’C có: \(\widehat {BAC} = \widehat {B'A'C'} = {90^0},\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}}\)

Do đó, \(\Delta ABC \backsim \Delta A'B'C'\)

Suy ra: \(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{1}{2}\)

Mà M là trung điểm của BC nên \(BC = 2AM\), M’ là trung điểm của B’C’ nên \(B'C' = 2A'M'\)

Do đó, \(\frac{{AM}}{{A'M'}} = \frac{1}{2}\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác vuông: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(HC = BC - BH = 9\left( {cm} \right)\)

Tam giác AHB và tam giác CAH có:

\(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = {90^0},\frac{{BH}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{HC}}\left( { = \frac{2}{3}} \right)\)

Do đó, \(\Delta AHB \backsim \Delta CAH\)

Suy ra: \(\widehat B = \widehat {CAH}\) (khẳng định (3) sai)

Mà \(\widehat B + \widehat {BAH} = {90^0}\) nên \(\widehat {BAH} + \widehat {CAH} = {90^0}\) hay \(\widehat {BAC} = {90^0}\) (khẳng định (1) sai)

Do đó, tam giác ABC vuông tại A.

Diện tích tam giác ABC là: \(\frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}AH.BC \Rightarrow AB.AC = AH.BC\) (khẳng định (2) đúng)

Vậy có 1 khẳng định đúng

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác vuông: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ADB vuông tại A có: \(B{D^2} = A{D^2} + A{B^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2} \Rightarrow BD = a\sqrt 2 \)

Tam giác ABD vuông cân tại A nên \(\widehat {ADB} = {45^0}\)

Ta có: \(B{D^2} + B{C^2} = 2{a^2} + 2{a^2} = 4{a^2} = C{D^2}\) nên tam giác BDC vuông tại B, do đó, \(\widehat {DBC} = {90^0}\)

Xét tam giác ADC và tam giác IBD có:

\(\widehat {ADC} = \widehat {IBD} = {90^0},\frac{{AD}}{{IB}} = \frac{{DC}}{{BD}}\)

Do đó, \(\Delta ADC \backsim \Delta IBD\)

Suy ra, \(\widehat {ACD} = \widehat {BDI}\)

Mà \(\widehat {ADH} = \widehat {ACD}\) (cùng phụ với góc HDC)

Do đó, \(\widehat {ADH} = \widehat {BDI}\)

Mà \(\widehat {ADH} + \widehat {BDH} = {45^0} \Rightarrow \widehat {BDI} + \widehat {BDH} = {45^0}\) hay \(\widehat {HDI} = {45^0}\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác vuông: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Tam giác OAC và tam giác DBO có: \(\widehat {OAC} = \widehat {DBO} = {90^0},\widehat {COA} = \widehat {BDO}\) (cùng phụ với góc DOB)

Do đó, \(\Delta OAC \backsim \Delta DBO \Rightarrow \frac{{OC}}{{OD}} = \frac{{AC}}{{OB}}\)

Mà \(OA = OB \Rightarrow \frac{{OC}}{{OD}} = \frac{{AC}}{{OA}} \Rightarrow \frac{{OC}}{{AC}} = \frac{{OD}}{{OA}}\)

Tam giác OCD và tam giác ACO có: \(\widehat {CAO} = \widehat {COD} = {90^0},\frac{{OC}}{{AC}} = \frac{{OD}}{{OA}}\)

Do đó, \(\Delta OCD \backsim \Delta ACO \Rightarrow \widehat {OCD} = \widehat {ACO}\)

Chứng minh được \(\Delta OAC = \Delta OMC\left( {ch - gn} \right) \Rightarrow AC = MC\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác vuông: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Tam giác ABC vuông tại A có AM là trung tuyến nên \(AM = MB = \frac{1}{2}BC\)

Do đó, tam giác AMB cân tại M. Do đó, MI là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên \(AI = \frac{1}{2}AB \Rightarrow \frac{{AI}}{{AB}} = \frac{1}{2}\)

Tam giác ABC có: M là trung điểm của CB, I là trung điểm của AB nên MI là đường trung bình của tam giác ABC nên \(\frac{{MI}}{{AC}} = \frac{1}{2}\)

Tam giác ABC và tam giác AIM có:

\(\widehat {BAC} = \widehat {MIA} = {90^0},\frac{{AI}}{{AB}} = \frac{{MI}}{{AC}}\left( { = \frac{1}{2}} \right)\) nên \(\Delta IAM \backsim \Delta ABC\)

Do đó, \(\frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{AMI}}}} = {\left( {\frac{{MI}}{{AC}}} \right)^2} = \frac{1}{4}\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác vuông: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2};\frac{{AC}}{{BD}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) nên \(\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{BD}}\)

Tam giác ABC và tam giác DEB có: \(\widehat {BAC} = \widehat {BDE} = {90^0},\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{BD}}\) nên \(\Delta ABC \backsim \Delta DEB\)

Do đó, \(\widehat {CBA} = \widehat {BED}\)

Mà \(\widehat {BED} + \widehat {EBD} = {90^0}\) nên \(\widehat {ABC} + \widehat {EBD} = {90^0}\)

Mà \(\widehat {ABC} + \widehat {EBD} + \widehat {CBE} = {180^0}\) nên \(\widehat {CBE} = {90^0}\)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = 13\)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác BDE vuông tại D có: \(B{E^2} = D{E^2} + B{D^2} = 52\)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác BCE vuông tại B có: \(C{E^2} = B{E^2} + B{C^2} = 65\) nên \(CE = \sqrt {65} \)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác vuông: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Tam giác BHC và tam giác B’H’C’ có: \(\widehat {BHC} = \widehat {B'H'C'} = {90^0},\frac{{BH}}{{B'H'}} = \frac{{HC}}{{H'C'}} = \frac{3}{2}\)

Do đó, \(\Delta BHC \backsim \Delta B'H'C'\)

Suy ra: + \(\frac{{BH}}{{B'H'}} = \frac{{HC}}{{H'C'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{3}{2}\)

+ \(\widehat C = \widehat {C'}\), mà tam giác ABC cân tại A, tam giác A’B’C’ cân tại A’ nên \(\widehat B = \widehat {B'} = \widehat C = \widehat {C'}\)

Do đó, \(\Delta ABC \backsim \Delta A'B'C'\) nên \(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{3}{2}\)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{AB + BC + AC}}{{A'B' + B'C' + A'C'}} = \frac{3}{2}\)

Mà chu vi tam giác A’B’C’ bằng 30cm nên chu vi tam giác ABC là: \(30.\frac{3}{2} = 45\left( {cm} \right)\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác vuông: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Tam giác BHC và tam giác B’H’C’ có: \(\widehat {BHC} = \widehat {B'H'C'} = {90^0},\frac{{BH}}{{B'H'}} = \frac{{HC}}{{H'C'}}\)

Do đó, \(\Delta BHC \backsim \Delta B'H'C'\)

Suy ra: \(\widehat C = \widehat {C'}\), mà tam giác ABC cân tại A, tam giác A’B’C’ cân tại A’ nên \(\widehat B = \widehat {B'} = \widehat C = \widehat {C'}\)

Do đó, \(\widehat {BAC} = 7\widehat {ACB} = 7\widehat {ABC}\)

Lại có: \(\widehat {BAC} + \widehat {ACB} + \widehat {ABC} = {180^0} \Rightarrow 9\widehat {ACB} = {180^0} \Rightarrow \widehat {ACB} = {20^0} \Rightarrow \widehat {BAC} = {140^0}\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác vuông: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Kẻ BK vuông góc với CD tại K.

Tứ giác ABKD có: \(\widehat A = \widehat D = \widehat {BKD} = {90^0}\) nên tứ giác ABKD là hình chữ nhật, do đó, \(KC = DC - DK = 5cm\)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác BKC vuông tại K ta có:

\(B{C^2} = C{K^2} + K{B^2} \Rightarrow K{B^2} = 144 \Rightarrow KB = 12cm\)

Vì tứ giác ABKD là hình chữ nhật nên \(AD = BK = 12cm\) do đó \(AM = MD = 6cm\)

Xét tam giác ABM và tam giác DMC có:

\(\widehat {BAM} = \widehat {MDC} = {90^0},\frac{{AB}}{{DM}} = \frac{{AM}}{{DC}}\left( { = \frac{2}{3}} \right)\)

Do đó, \(\Delta ABM \backsim \Delta DMC\)

Suy ra, \(\widehat {AMB} = \widehat {DCM}\)

Mà \(\widehat {DMC} + \widehat {MCD} = {90^0} \Rightarrow \widehat {DMC} + \widehat {AMB} = {90^0}\)

Ta có: \(\widehat {DMC} + \widehat {BMC} + \widehat {AMB} = {180^0} \Rightarrow \widehat {BMC} = {90^0}\)

Do đó, tam giác BMC vuông tại M.

Kẻ MH vuông góc với BC tại H thì MH là khoảng cách từ M đến BC.

Áp dụng định lý Pythagore vào hai tam giác ABM và tam giác DMC ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}B{M^2} = M{A^2} + A{B^2} = {6^2} + {4^2} = 52\\M{C^2} = C{D^2} + D{M^2} = {9^2} + {6^2} = 117\end{array} \right.\)

Do đó, \(BM = 2\sqrt {13} cm,MC = 3\sqrt {13} cm\)

Diện tích tam giác BMC vuông tại M có:

\(\frac{1}{2}BM.MC = \frac{1}{2}MH.BC \Rightarrow 2\sqrt {13} .3\sqrt {13}  = 13.MH \Rightarrow MH = 6cm\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác vuông: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(AD = DE = EC = a\)

Vẽ M đối xứng với B qua D.

Tam giác BAD vuông tại A có \(AB = AD\) nên tam giác ABD vuông cân tại A. Suy ra: \(\widehat {ABD} = \widehat {ADB} = {45^0}\)

Chứng minh được \(\Delta ABD = \Delta EMD\) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {EMD} = {45^0},\widehat {MED} = \widehat {BAD} = {90^0}\) và \(BD = DM = \frac{1}{2}BM,\;ME = AB = a\)

Tam giác MEC có ME là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên tam giác DME cân tại M. Do đó, ME là đường phân giác. Do đó, \(\widehat {DMC} = 2\widehat {DME} = {90^0}\)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABD vuông tại A có: \(BD = a\sqrt 2  \Rightarrow BM = 2a\sqrt 2 \)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác MEC vuông tại E có: \(MC = a\sqrt 2 \)

Ta có: \(\frac{{AB}}{{MC}} = \frac{a}{{a\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }};\frac{{AE}}{{BM}} = \frac{{2a}}{{2a\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \frac{{AB}}{{MC}} = \frac{{AE}}{{BM}}\)

Tam giác EAB và tam giác BMC có:

\(\widehat {BAE} = \widehat {BMC} = {90^0},\)\(\frac{{AB}}{{MC}} = \frac{{AE}}{{BM}}\) nên \(\Delta EAB \backsim \Delta BMC\)

Do đó, \(\widehat {BEA} = \widehat {MBC}\)

Mà \(\widehat {BEA} + \widehat {BCA} = \widehat {MBC} + \widehat {BCA} = \widehat {BDA} = {45^0}\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác vuông: Nếu tam vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Tam giác ABC và tam giác DEF có: \(\widehat {BAC} = \widehat {EDF} = {90^0},\widehat B = \widehat F\) nên \(\Delta ABC \backsim \Delta DFE(g.g)\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác vuông: Nếu tam vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Tam giác IPQ và tam giác IMN có: \(\widehat I\;chung,\;\widehat {IPQ} = \widehat M = {90^0}\)

Do đó,  \(\Delta IPQ \backsim \Delta IMN(g.g)\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác vuông: Nếu tam vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Nếu một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Vậy (I) đúng, (II) sai.

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác vuông: Nếu tam vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Tam giác ACH và tam giác CBA có: \(\widehat {AHC} = \widehat {BAC} = {90^0},\widehat C\;chung\)

Do đó, \(\Delta ACH \backsim \Delta BCA(g.g)\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác vuông: Nếu tam vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\widehat A + \widehat C = \widehat A + \widehat E\left( { = {{90}^0}} \right) \Rightarrow \widehat C = \widehat E\)

Xét tam giác ABE và tam giác DCB có: \(\widehat {ABE} = \widehat {DBC} = {90^0},\widehat E = \widehat C\)

Do đó, \(\Delta ABE \backsim \Delta DBC(g.g)\)

Do đó, \(\frac{{BC}}{{BE}} = \frac{{BD}}{{BA}}\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác vuông: Nếu tam vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Đổi \(1cm = 0,01m;\;5cm = 0,05m\)

Tam giác AMB và tam giác A’M’B’ có: \(\widehat {BAM} = \widehat {B'A'M'} = {90^0},\widehat {AMB} = \widehat {A'M'B'}\)

Do đó,\(\Delta AMB \backsim \Delta A'M'B'(g.g)\)

Suy ra, \(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AM}}{{A'M'}} = \frac{2}{{0,01}} = 200 \Rightarrow AB = 200.A'B' = 10\left( m \right)\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác vuông: Nếu tam vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\widehat {EDH} + \widehat {HDF} = \widehat F + \widehat {HDF}\left( { = {{90}^0}} \right) \Rightarrow \widehat {EDH} = \widehat F\)

Tam giác EDH và tam giác DFH có:

\(\widehat {EHD} = \widehat {FHD} = {90^0},\widehat {EDH} = \widehat F\)

Do đó, \(\Delta EDH \backsim \Delta DFH(g.g)\) nên \(\frac{{DH}}{{FH}} = \frac{{EH}}{{DH}} \Rightarrow D{H^2} = EH.FH\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác vuông: Nếu tam vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat B + \widehat C = {90^0} \Rightarrow \widehat C = {90^0} - \widehat B = {60^0}\)

Tam giác ABC và tam giác MNP có: \(\widehat A = \widehat M = {90^0},\widehat C = \widehat N\left( { = {{60}^0}} \right)\)

Do đó, \(\Delta ABC \backsim \Delta MPN(g.g) \Rightarrow \frac{{AB}}{{MP}} = \frac{{BC}}{{PN}} \Rightarrow AB.PN = MP.BC\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác vuông: Nếu tam vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Tam giác ACH và tam giác CBA có: \(\widehat {AHC} = \widehat {BAC} = {90^0},\widehat C\;chung\)

Do đó, \(\Delta ACH \backsim \Delta BCA(g.g) \Rightarrow \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{CH}}{{AC}} \Rightarrow A{C^2} = CH.BC\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác vuông: Nếu tam vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Kẻ đường cao \(AD\) . Xét \(\Delta CBE\) và \(\Delta ABD\) có \(\widehat {BEC} = \widehat {ADB} = {90^\circ }\) và \(\hat B\) chung nên \(\Delta CBE \backsim \Delta ABD \Rightarrow \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{BE}}{{BD}}\) hay \(\frac{{24}}{{AB}} = \frac{9}{{12}}\)

\( \Rightarrow AB = 32{\rm{cm}}\) .

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác vuông: Nếu tam vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Tam giác ABN và tam giác AIP có: \(\widehat N = \widehat {IPA} = {90^0},\widehat {BAN}\;chung\)

Do đó, \(\Delta ABN \backsim \Delta AIP \Rightarrow \frac{{AB}}{{AI}} = \frac{{AN}}{{AP}} \Rightarrow AI.AN = AP.AB\)

Tam giác AMB và tam giác IPB có: \(\widehat M = \widehat {IPB} = {90^0},\widehat {ABM}\;chung\)

Do đó, \(\Delta AMB \backsim \Delta IPB \Rightarrow \frac{{AB}}{{BI}} = \frac{{BM}}{{BP}} \Rightarrow AB.BP = BI.BM\)

Vậy \(AI.AN + BI.BM = AP.AB + AB.PB = AB\left( {AP + PB} \right) = A{B^2}\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác vuông: Nếu tam vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Tam giác ADO và tam giác ECO có: \(\widehat {DAO} = \widehat {CEO} = {90^0},\widehat {AOD} = \widehat {COE}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó, \(\Delta ADO \backsim \Delta ECO \Rightarrow \frac{{AD}}{{EC}} = \frac{{DO}}{{CO}} \Rightarrow \frac{4}{x} = \frac{5}{6} \Rightarrow x = 4,8\)

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ADO vuông tại A ta có:

\(A{D^2} + A{O^2} = O{D^2}\) \( \Rightarrow A{O^2} = D{O^2} - A{D^2} = 9 \Rightarrow AO = 3\)

Tam giác CEO và tam giác CAB có: \(\widehat {CEO} = \widehat {CAB} = {90^0},\widehat {C}\;chung\)

Do đó, \(\Delta CEO \backsim \Delta CAB \Rightarrow \frac{{CO}}{{CB}} = \frac{{CE}}{{CA}} \Rightarrow \frac{{CO}}{{EC + EB}} = \frac{{CE}}{{CO + AO}} \Rightarrow \frac{6}{{4,8 + y}} = \frac{{4,8}}{{6 + 3}} \Rightarrow y = 6,45\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác vuông: Nếu tam vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Tam giác ABC cân tại A nên \(BD = DC = \frac{{BC}}{2} = 12\left( {cm} \right)\)

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ADC vuông tại D ta có: \(A{D^2} = A{C^2} - D{C^2} = {16^2} \Rightarrow AD = 16cm\)

Tam giác CDH và tam giác ADB có: \(\widehat {CDH} = \widehat {ADB} = {90^0},\widehat {{C_1}} = \widehat {{A_1}}\) (cùng phụ với góc B)

Do đó, \(\Delta CDH \backsim \Delta ADB \Rightarrow \frac{{HD}}{{BD}} = \frac{{CD}}{{AD}} \Rightarrow \frac{{HD}}{{12}} = \frac{{12}}{{16}} = \frac{3}{4}\)

Suy ra: \(HD = 9cm\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác vuông: Nếu tam vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Gọi D là giao điểm của AC và đường vuông góc với BC tại E.

Tam giác AHC và tam giác ABC có: \(\widehat {AHC} = \widehat {BAC} = {90^0},\widehat C\;chung.\) Do đó, \(\Delta ACH \backsim \Delta BCA\)

Ta có: \({S_{DEC}} = \frac{1}{2}{S_{ABC}}\left( 1 \right)\) , \(\frac{{{S_{AHC}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}HC.AH}}{{\frac{1}{2}BC.AH}} = \frac{{HC}}{{BC}} = \frac{{18}}{{25}} \Rightarrow {S_{AHC}} = \frac{{18}}{{25}}{S_{ABC}}\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có: \({S_{DEC}}:{S_{AHC}} = \frac{1}{2}:\frac{{18}}{{25}} = \frac{{25}}{{36}} = {\left( {\frac{5}{6}} \right)^2}\left( 3 \right)\)

Tam giác DEC và tam giác AHC có: \(\widehat {DEC} = \widehat {AHC} = {90^0},\widehat C\;chung\)

\(\Delta DEC \backsim \Delta AHC \Rightarrow \frac{{{S_{DEC}}}}{{{S_{AHC}}}} = {\left( {\frac{{EC}}{{HC}}} \right)^2}\left( 4 \right)\)

Từ (3) và (4) ta có: \(\frac{{EC}}{{HC}} = \frac{5}{6}\) \( \Rightarrow \) \(\frac{{EC}}{{18}} = \frac{5}{6} \Rightarrow EC = 15cm\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác vuông: Nếu tam vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Tam giác AHB và tam giác AEC có: \(\widehat {{A_1}}chung,\widehat {AHB} = \widehat E = {90^0}\)

Do đó, \(\Delta AHB \backsim \Delta AEC \Rightarrow \frac{{AH}}{{AE}} = \frac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow AB.AE = AC.AH\)

Vì BC// AD (do ABCD là hình bình hành) nên \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{A_2}}\) , mà \(\widehat {BHC} = \widehat K = {90^0}\)

Do đó, \(\Delta AKC \backsim \Delta CHB \Rightarrow \frac{{AK}}{{CH}} = \frac{{AC}}{{CB}} \Rightarrow AK.CB = AC.CH\)

Vì ABCD là hình bình hành nên \(BC = AD\)

Do đó, \(AD.AK = AC.CH\left( 3 \right)\)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

\(AB.AE + AD.AK = AC\left( {AH + CH} \right) = A{C^2}\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác vuông: Nếu tam vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Kẻ MI vuông góc với BC tại I

Tam giác BIM và tam giác BDC có: \(\widehat {BIM} = \widehat {BDC} = {90^0},\widehat {MBC}\;chung\)

Do đó, \(\Delta BIM \backsim \Delta BDC \Rightarrow \frac{{BM}}{{BC}} = \frac{{BI}}{{BD}} \Rightarrow BM.BD = BC.BI\left( 1 \right)\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\Delta ICM \backsim \Delta ACB \Rightarrow \frac{{CM}}{{BC}} = \frac{{CI}}{{CA}} \Rightarrow CM.CA = BC.CI\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có: \(BM.BD + CM.CA = BC.BI + BC.CI = BC\left( {BI + CI} \right) = B{C^2}\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác vuông: Nếu tam vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Kẻ đường cao AD của tam giác ABC.

Vì tam giác ABC cân tại A nên AD là đường cao đồng thời là đường trung tuyến

Suy ra: \(BD = \frac{1}{2}BC = 4cm\)

Xét tam giác CBE và tam giác ABD có: \(\widehat {BEC} = \widehat {ADB} = {90^0}\) và góc B chung

Do đó, \(\Delta CBE \backsim \Delta ABD\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{BE}}{{BD}} \Rightarrow AB = \frac{{BD.BC}}{{BE}} = \frac{{32}}{3}\left( {cm} \right)\)