Trắc nghiệm toán 8 bài 3 chương 1 cánh diều có đáp án — Không quảng cáo

Phương pháp giải :

Học thuộc hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: ${\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$

Lời giải chi tiết :

${\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$

Phương pháp giải :

Học thuộc hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: ${x^2} - {y^2}$ $= \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)$

Lời giải chi tiết :

${x^2} - {y^2}$ $= \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)$

Phương pháp giải :

Nhớ khái niệm hằng đẳng thức: Hằng đẳng thức là đẳng thức mà hai vế luôn cùng nhận một giá trị khi thay các chữ trong đẳng thức bằng các số tùy ý.

Lời giải chi tiết :

Loại đáp án B, C, D vì khi ta thay $x = 2$  thì hai vế của đẳng thức không bằng nhau.

Phương pháp giải :

Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: ${\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$

Lời giải chi tiết :

$4{x^2} - 4x + 1 = {\left( {2x} \right)^2} - 2.2x.1 + {1^2} = {\left( {2x - 1} \right)^2}$

Phương pháp giải :

Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng: ${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$

Lời giải chi tiết :

$25{x^2} + 20xy + 4{y^2} = {\left( {5x} \right)^2} + 2.5x.2y + {\left( {2y} \right)^2} = {\left( {5x + 2y} \right)^2}$

Phương pháp giải :

Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: ${\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$

Lời giải chi tiết :

${a^2} - 2ab + {b^2} = {\left( {a - b} \right)^2} = {\left( {100 - 1} \right)^2} = {99^2}$ suy ra $a = 100,\,b = 1$

Phương pháp giải :

Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng: ${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$

Lời giải chi tiết :

$\frac{1}{4}{x^2}{y^2} + xy + 1 = {\left( {\frac{1}{2}xy} \right)^2} + 2.\frac{1}{2}xy.1 + {1^2} = {\left( {\frac{1}{2}xy + 1} \right)^2} \Rightarrow ... = \frac{1}{2}xy$

Phương pháp giải :

Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: ${\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$  và phép nhân đơn thức với đa thức.

Lời giải chi tiết :

$P = {\left( {3x - 1} \right)^2} - 9x\left( {x + 1} \right) \\= 9{x^2} - 6x + 1 - 9{x^2} - 9x \\=  - 15x + 1$

Phương pháp giải :

Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: ${x^2} - {y^2}$ $= \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)$

Lời giải chi tiết :

${101^2} - {99^2} = \left( {101 - 99} \right)\left( {101 + 99} \right)$

Phương pháp giải :

Áp dụng hai hằng đẳng thức:

${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}; \\{A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)$

đưa về dạng tìm $x$ đã biết (chú ý đằng trước ngoặc đơn có dấu trừ, khi phá ngoặc phải đổi dấu toàn bộ các hạng tử trong ngoặc).

Lời giải chi tiết :

Ta có

$\begin{array}{l}\left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right) - {\left( {x + 3} \right)^2} = 9 \\{x^2} - {6^2} - \left( {{x^2} + 6x + 9} \right) = 9\\ {x^2} - 36 - {x^2} - 6x - 9 = 9\\ - 6x = 9 + 9 + 36 \\ - 6x = 54\\ x = - 9\end{array}$

Phương pháp giải :

Áp dụng hằng đẳng thức: ${A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)$ đưa về dạng tìm $x$ đã biết.

Lời giải chi tiết :

Ta có ${\left( {3x - 4} \right)^2} - {\left( {2x - 1} \right)^2} = 0 \\ \left[ {\left( {3x - 4} \right) - \left( {2x - 1} \right)} \right].\left[ {\left( {3x - 4} \right) + \left( {2x - 1} \right)} \right] = 0\\ \left( {3x - 4 - 2x + 1} \right)\left( {3x - 4 + 2x - 1} \right) = 0\\ \left( {x - 3} \right)\left( {5x - 5} \right) = 0$

Suy ra x - 3 = 0 hoặc 5x - 5 = 0 x = 3 hoặc 5x = 5 x = 3 hoặc x = 1

Vậy có 2 giá trị x thỏa mãn.

Phương pháp giải :

Biến đổi biểu thức $P$ để sử dụng hằng đẳng thức: ${A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)$ rồi so sánh (chú ý điều kiện $a > 0$ ).

Lời giải chi tiết :

Ta có $P = 2015.2017.a = \left( {2016 - 1} \right).\left( {2016 + 1} \right).a = \left( {{{2016}^2} - 1} \right).a$

Vì ${2016^2} - 1 < {2016^2} \Rightarrow \left( {{{2016}^2} - 1} \right).a < {2016^2}.a \left( {a > 0} \right)$

$\Rightarrow 2015.2017.a < {2016^2}.a$ hay $P < Q$

Phương pháp giải :

Sử dụng các hằng đẳng thức: ${A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)$ ,${\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$ ,${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$ để rút gọn 2 biểu thức đã cho.

Lời giải chi tiết :

Ta có

$\begin{array}{l} {\left( {3x-1} \right)^2}\; + 2{\left( {x + 3} \right)^2}\; + 11\left( {1 + x} \right)\left( {1-x} \right)\\\begin{array}{*{20}{l}}{ = {{\left( {3x} \right)}^2}\;-2.3x.1 + {1^2}\; + 2\left( {{x^2}\; + 6x + 9} \right) + 11\left( {1-{x^2}} \right)}\\{ = 9{x^2}\;-6x + 1 + 2{x^2}\; + 12x + 18 + 11-11{x^2}\;}\\\begin{array}{l} = \left( {9{x^2}\; + 2{x^2}\;-11{x^2}} \right) + \left( { - 6x + 12x} \right){{ + }}\left( {1 + 18 + 11} \right)\\ = 6x + 30\end{array}\end{array}\end{array}$

$\Rightarrow a = 6; b = 30$

Phương pháp giải :

Sử dụng hai hằng đẳng thức: ${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$ và ${\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$ để rút gọn biểu thức $M,N$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có $M = \frac{{{{\left( {x + 5} \right)}^2} + {{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{{x^2} + 25}} = \frac{{{x^2} + 10x + 25 + {x^2} - 10x + 25}}{{{x^2} + 25}} = \frac{{2{x^2} + 50}}{{{x^2} + 25}} = \frac{{2\left( {{x^2} + 25} \right)}}{{{x^2} + 25}} = 2$

$N = \frac{{{{\left( {2x + 5} \right)}^2} + {{\left( {5x - 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{4{x^2} + 20x + 25 + 25{x^2} - 20x + 4}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{29{x^2} + 29}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{29\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}} = 29$

Ta thấy: $29 = 14.2 + 1 \Rightarrow N = 14M + 1$

Phương pháp giải :

Biến đổi biểu thức $T$ để sử dụng hằng đẳng thức: ${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$ rồi đánh giá biểu thức$T = {\left( {A + B} \right)^2} + m \ge m \left( {{{\left( {A + B} \right)}^2} \ge 0} \right)$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có

$\begin{array}{l}T = {x^2} + 20x + 101 = \left( {{x^2} + 2.10x + 100} \right) + 1 = {\left( {x + 10} \right)^2} + 1 \ge 1 \left( {{{\left( {x + 10} \right)}^2} \ge 0, \forall x} \right)\\ \Rightarrow T \ge 1\end{array}$

Phương pháp giải :

Sử dụng hai hằng đẳng thức: ${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$ ,${\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$ và phép nhân đơn thức với đa thức rồi thu gọn đa thức.

Lời giải chi tiết :

Ta có

$\begin{array}{l}\;N = 2{\left( {x-1} \right)^2}\;-4{\left( {3 + x} \right)^2}\; + 2x\left( {x + 14} \right)\\ \begin{array}{*{20}{l}}{ = 2\left( {{x^2}\;-2x + 1} \right)-4\left( {9 + 6x + {x^2}} \right) + 2{x^2}\; + 28x}\\{ = 2{x^2}\;-4x + 2-36-24x-4{x^2}\; + 2{x^2}\; + 28x}\\{ = \left( {2{x^2}\; + 2{x^2}\;-4{x^2}} \right) + \left( { - 4x-24x + 28x} \right) + 2-36}\\{ =  - 34}\end{array}\end{array}$

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức: ${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$ đưa biểu thức$Q$ về dạng $m - {\left( {A + B} \right)^2}$ rồi đánh giá: $m - {\left( {A + B} \right)^2} \le m \left( { - {{\left( {A + B} \right)}^2} \le 0} \right)$ (chú ý đổi dấu để được hằng đẳng thức cần dùng).

Dấu = xảy ra khi $A + B = 0$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có $\;Q = 8-8x-{x^2} = -{x^2}-8x - 16 + 16 + 8 = - \left( {{x^2} + 8x + 16} \right) + 24 = - {\left( {x + 4} \right)^2} + 24$

Vì ${\left( {x + 4} \right)^2} \ge 0$ với mọi giá trị x nên $- {\left( {x + 4} \right)^2} \le 0$ với mọi giá trị x .

Do đó $- {\left( {x + 4} \right)^2} + 24 \le 24$ với mọi x

Dấu = xảy ra khi $x + 4 = 0$ hay $x = - 4$ . Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức Q là 24 khi $x = - 4$ .

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức: ${A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)$ đưa về bài toán tìm $x$ (chú ý điều kiện $a > 0$ )

Lời giải chi tiết :

Ta có

$\begin{array}{l}\;{\left( {2x + 1} \right)^2}\;-{\left( {x + {{ 5}}} \right)^2}\; = 0 \Leftrightarrow \left[ {\left( {2x + 1} \right) - \left( {x + {{ 5}}} \right)} \right]\left[ {\left( {2x + 1} \right) + \left( {x + {{ 5}}} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2x + 1 - x - 5} \right)\left( {2x + 1 + x + 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {3x + 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 4 = 0\\3x + 6 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\3x = - 6\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\left( {TM} \right)\\x = - 2\left( L \right)\end{array} \right.\end{array}$

$\Rightarrow a = 4$ . Vậy bội của 4 là $24$ .

Phương pháp giải :

Biến đổi biểu thức về dạng: ${\left( {A + B} \right)^2} + {\left( {C + D} \right)^2} + m$ rồi đánh giá: ${\left( {A + B} \right)^2} + {\left( {C + D} \right)^2} + m \ge m$

Dấu = xảy ra khi ${\left( {A + B} \right)^2} = 0;{\left( {C + D} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow A = - B;C = - D$ .

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là $m$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có

${{P }} = {x^2}-8x + {y^2} + 2y + 5 = \left( {{x^2}-8x + 16} \right) + \left( {{y^2} + 2y + 1} \right) - 12 = {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} - 12$

Vì ${\left( {x - 4} \right)^2} \ge 0\forall x;{\left( {y + 1} \right)^2} \ge 0\forall y \Rightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} - 12 \ge - 12\forall x,y$

Dấu = xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}x - 4 = 0\\y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = - 1\end{array} \right.$

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là $- 12$ khi $x = 4;y = - 1 \Rightarrow x + 2y = 4 + 2.\left( { - 1} \right) = 2$

Phương pháp giải :

Sử dụng hai hằng đẳng thức: ${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$, ${\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$ đưa biểu thức $Q$ về dạng $m{x^2} + n$ rồi đánh giá: $m{x^2} + n \ge m\left( {m{x^2} \ge 0\forall x} \right)$ (chú ý đổi dấu để được hằng đẳng thức cần dùng).

Dấu = xảy ra khi $x = 0$ .

Nhớ lại căn bậc hai số học của một số không âm $a$ có dạng $\sqrt a$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có

$A = {\left( {3x - 1} \right)^2} + {\left( {3x + 1} \right)^2} + 2\left( {9{x^2} + 7} \right) = 9{x^2} - 6x + 1 + 9{x^2} + 6x + 1 + 18{x^2} + 14 = 36{x^2} + 16 \ge 16\left( {{x^2} \ge 0 \Rightarrow 36{x^2} \ge 0} \right)$

Dấu = xảy ra khi $x = 0$, suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là $16$ khi $x = 0 \Rightarrow b = 0$ .

Vậy căn bậc hai số học của 0 là 0.

Phương pháp giải :

Xét hiệu $M - N$ rồi sử dụng hằng đẳng thức: ${\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$ .

Áp dụng công thức tính tổng n số tự nhiên liên tiếp $1,2,3,...,n$ là $\frac{{1 + n}}{2}.n$

Lời giải chi tiết :

Ta có

$\begin{array}{l}M - N = \left( {{{79}^2} + {{77}^2} + {{75}^2} + ... + {3^2} + {1^2}} \right) - \left( {{{78}^2} + {{76}^2} + {{74}^2} + ... + {2^2}} \right)\\ = \left( {{{79}^2} - {{78}^2}} \right) + \left( {{{77}^2} - {{76}^2}} \right) + \left( {{{75}^2} - {{74}^2}} \right) + ... + \left( {{3^2} - {2^2}} \right) + {1^2}\\ = \left( {79 - 78} \right)\left( {79 + 78} \right) + \left( {77 - 76} \right)\left( {77 + 76} \right) + \left( {75 - 74} \right)\left( {75 + 74} \right) + ... + \left( {3 - 2} \right)\left( {3 + 2} \right) + 1\\ = 79 + 78 + 77 + 76 + 75 + 74 + ... + 3 + 2 + 1\\ = \frac{{79 + 1}}{2}.79 = 3160\\ \Rightarrow \frac{{M - N}}{2} = \frac{{3160}}{2} = 1580\end{array}$

Phương pháp giải :

Biến đổi đẳng thức bằng cách sử dụng hằng đẳng thức:

${\left( {A + B + C} \right)^2} = {A^2} + {B^2} + {C^2} + 2AB + 2BC + 2CA;{\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$ .

Sử dụng ${A^2} + {B^2} + {C^2} \ge 0\forall A,B,C$ . Dấu = xảy ra khi $A = B = C = 0$

Lời giải chi tiết :

Ta có

$\begin{array}{l}{\left( {a + b + c} \right)^2} = 3\left( {ab + bc + ca} \right) \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca = 3ab + 3bc + 3ca\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca = 0\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ca = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{a^2} - 2ca + {c^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} = 0\end{array}$

Ta thấy ${\left( {a - b} \right)^2} \ge 0,{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0,{\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\forall a,b,c$

Dấu = xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} = 0\\{\left( {b - c} \right)^2} = 0\\{\left( {c - a} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\b - c = 0\\c - a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\b = c\\c = a\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c$ .

Phương pháp giải :

Biến đổi biểu thức về dạng: ${\left( {A + B} \right)^2} + {\left( {C + D} \right)^2} + m$ rồi đánh giá: ${\left( {A + B} \right)^2} + {\left( {C + D} \right)^2} + m \ge m$

Dấu = xảy ra khi ${\left( {A + B} \right)^2} = 0;{\left( {C + D} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow A = - B;C = - D$ .

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là $m$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có

$\begin{array}{l}T = \left( {{x^2} + 4x + 5} \right)\left( {{x^2} + 4x + 6} \right) + 3\\ = \left( {{x^2} + 4x + 5} \right)\left( {{x^2} + 4x + 5 + 1} \right) + 3\\ = {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + \left( {{x^2} + 4x + 5} \right) + 3\\ = {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + \left( {{x^2} + 4x + 4} \right) + 4\\ = {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} + 4\end{array}$

Ta thấy ${\left( {x + 2} \right)^2} \ge 0\forall x \Rightarrow \left( {{x^2} + 4x + 5} \right) = \left( {{x^2} + 4x + 4 + 1} \right) = {\left( {x + 2} \right)^2} + 1 \ge 1$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} + 4 \ge 1 + 4\\ \Rightarrow T \ge 5\end{array}$

Dấu = xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 4x + 5 = 1\\x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 2} \right)^2} = 0\\x = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - 2$

Vậy giá trị nhỏ nhất của T là $5$ khi $x = - 2$

Phương pháp giải :

Học thuộc hằng đẳng thức lập phương của một tổng và một hiệu:

${\left( {A + B} \right)^3}\; = {A^3}\; + 3{A^2}B + 3A{B^2}\; + {B^3}$; ${\left( {A\; - B} \right)^3}\; = {A^3}\; - 3{A^2}B + 3A{B^2}\; - {B^3}$

Lời giải chi tiết :

${\left( {A + B} \right)^3}\; = {A^3}\; + 3{A^2}B + 3A{B^2}\; + {B^3}$; ${\left( {A\; - B} \right)^3}\; = {A^3}\; - 3{A^2}B + 3A{B^2}\; - {B^3}$

Phương pháp giải :

Áp dụng hằng đẳng thức lập phương của một tổng: ${\left( {A + B} \right)^3}\; = {A^3}\; + 3{A^2}B + 3A{B^2}\; + {B^3}$

Lời giải chi tiết :

${x^3}\; + {{ 3}}{x^2}\; + {{ 3}}x + {{ 1 = }}{\left( {x + 1} \right)^3}$

Phương pháp giải :

Áp dụng hằng đẳng thức lập phương của một hiệu: ${\left( {A - B} \right)^3}\; = {A^3}\; - 3{A^2}B + 3A{B^2}\; - {B^3}$

Lời giải chi tiết :

${\left( {x - 2} \right)^3} = {x^3} - 3.{x^2}.2 + 3.x{.2^2} - {2^3} = {x^3} - 6{x^2} + 12x - 8$

Phương pháp giải :

Áp dụng phép nhân hai lũy thừa cùng cơ số: ${x^m}.{x^n} = {x^{m + n}}\,\,\left( {m,\,n \in \mathbb{N}} \right)$

Lời giải chi tiết :

$\left( {A - B} \right).{\left( {A - B} \right)^2} = {\left( {A - B} \right)^{1 + 2}} = {\left( {A - B} \right)^3}$

Phương pháp giải :

Áp dụng hằng đẳng thức lập phương của một tổng: ${\left( {A + B} \right)^3}\; = {A^3}\; + 3{A^2}B + 3A{B^2}\; + {B^3}$ và phép nhân hai đa thức rồi thu gọn đa thức.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}A + \frac{3}{4}{x^2} - \frac{3}{2}x + 1 = A + 3.{\left( { - \frac{1}{2}x} \right)^2}.1 + 3.\left( { - \frac{1}{2}x} \right){.1^2} + {1^3} = {\left( { - \frac{1}{2}x} \right)^3} + 3.{\left( { - \frac{1}{2}x} \right)^2}.1 + 3.\left( { - \frac{1}{2}x} \right){.1^2} + {1^3} = {\left( { - \frac{x}{2} + 1} \right)^3}\\ \Rightarrow A = {\left( { - \frac{1}{2}x} \right)^3} =- \frac{{{x^3}}}{8};\,B =- \frac{1}{2}x =- \frac{x}{2}\end{array}$

Phương pháp giải :

Áp dụng hằng đẳng thức: ${\left( {A + B} \right)^3}\; = {A^3}\; + 3{A^2}B + 3A{B^2}\; + {B^3}$.

Lời giải chi tiết :

${23^3} - {9.23^2} + 27.23 - 27 \\= {23^3} - {3.23^2}.3 + {3.23.3^2} - {3^3} \\= {\left( {23 - 3} \right)^3} \\= {20^3} = 8000$

Phương pháp giải :

Áp dụng hằng đẳng thức: ${\left( {A - B} \right)^3}\; = {A^3}\; - 3{A^2}B + 3A{B^2}\; - {B^3}$

Lời giải chi tiết :

$8-{{ 36}}x + {{ 54}}{x^2}\;-{{ 27}}{x^3} = {2^3} - {3.2^2}.\left( {3x} \right) + 3.2.{\left( {3x} \right)^2} - {\left( {3x} \right)^3} = {\left( {2 - 3x} \right)^3}$

Phương pháp giải :

Áp dụng hằng đẳng thức: ${\left( {A - B} \right)^3}\; = {A^3}\; - 3{A^2}B + 3A{B^2}\; - {B^3}$ rồi thay giá trị của biến vào biểu thức.

Lời giải chi tiết :

${x^3}\;-6{x^2}y + 12x{y^2}\;-8{y^3}\; = {x^3}\;-3.{x^2}.\left( {2y} \right) + 3.x.{\left( {2y} \right)^2} - {\left( {2y} \right)^3} = {\left( {x - 2y} \right)^3}$

Thay $x = 2021$ và $y = 1010$ vào biểu thức trên ta có${\left( {2021 - 2.1010} \right)^3} = {1^3} = 1$

Phương pháp giải :

Áp dụng hằng đẳng thức: ${\left( {A - B} \right)^3}\; = {A^3}\; - 3{A^2}B + 3A{B^2}\; - {B^3}$ rồi tìm đưa về bài toán tìm $x$ đã biết.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}{x^3}\;-12{x^2}\; + 48x-64 = 0 \Leftrightarrow {x^3}\;-{{ 3}}.{x^2}.4 + 3.x{.4^2} - {4^3} = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {\left( {x - 4} \right)^3} = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow x - 4 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow x = 4\end{array}$

Phương pháp giải :

Áp dụng hằng đẳng thức: ${\left( {A + B} \right)^3}\; = {A^3}\; + 3{A^2}B + 3A{B^2}\; + {B^3}$ ,

${\left( {A - B} \right)^3}\; = {A^3}\; - 3{A^2}B + 3A{B^2}\; - {B^3}$và phép nhân đa thức với đơn thức rồi tìm đưa về bài toán tìm $x$ đã biết.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}H = \left( {x + 5} \right)({x^2}\;-5x + 25)-{\left( {2x + 1} \right)^3}\; + 7{\left( {x-1} \right)^3}\;-3x\left( { - 11x + 5} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\, = {x^3} - 5{x^2} + 25x + 5{x^2} - 25x + 125 - \left( {8{x^3} + 12{x^2} + 6x + 1} \right) + 7\left( {{x^3} - 3{x^2} + 3x - 1} \right) + 33{x^2} - 15x\\\,\,\,\,\,\,\,\, = {x^3} + 125 - 8{x^3} - 12{x^2} - 6x - 1 + 7{x^3} - 21{x^2} + 21x - 7 + 33{x^2} - 15x\\\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{x^3} - 8{x^3} + 7{x^3}} \right) + \left( { - 12{x^2} - 21{x^2} + 33{x^2}} \right) + \left( {{5^3} - 1 - 7} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\, = 117\end{array}$

Vậy $H$ là một số lẻ.

Phương pháp giải :

Áp dụng hằng đẳng thức: ${\left( {A + B} \right)^3}\; = {A^3}\; + 3{A^2}B + 3A{B^2}\; + {B^3}$ và phép nhân đa thức với đơn thức rồi tìm đưa về bài toán tìm $x$ đã biết.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}M = {\left( {x + 2y} \right)^3} - 6{\left( {x + 2y} \right)^2} + 12\left( {x + 2y} \right) - 8\\\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {x + 2y} \right)^3} - 3.{\left( {x + 2y} \right)^2}.2 + 3.\left( {x + 2y} \right){.2^2} - {2^3}\\\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {x + 2y - 2} \right)^3}\end{array}$

Thay $x = 20;\,y = 1$ vào biểu thức $M$ ta có $M = {\left( {20 + 2.1 - 2} \right)^3} = {20^3} = 8000$.

Phương pháp giải :

Áp dụng hằng đẳng thức: ${\left( {A + B} \right)^3}\; = {A^3}\; + 3{A^2}B + 3A{B^2}\; + {B^3}$,

${\left( {A - B} \right)^3}\; = {A^3}\; - 3{A^2}B + 3A{B^2}\; - {B^3}$ và phép nhân hai đa thức rồi thu gọn đa thức.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}P = {\left( {4x + 1} \right)^3}\;-\left( {4x + 3} \right)\left( {16{x^2}\; + 3} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\begin{array}{*{20}{l}}{ = {{\left( {4x} \right)}^3}\; + 3.{{\left( {4x} \right)}^2}.1 + 3.4x{{.1}^2}\; + {1^3}\;-(64{x^3}\; + 12x + 48{x^2}\; + 9)}\\\begin{array}{l} = 64{x^3}\; + 48{x^2}\; + 12x + 1-64{x^3}\;-12x-48{x^2}\;-9\\ =  - 8\end{array}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}Q = {\left( {x-2} \right)^3}\;-x\left( {x + 1} \right)\left( {x-1} \right) + 6x\left( {x-3} \right) + 5x\\\,\,\,\,\,\,\,\,\begin{array}{*{20}{l}}{ = {x^3}\;-3.{x^2}.2 + 3x{{.2}^2}\;-{2^3}\;-x\left( {{x^2}\;-1} \right) + 6{x^2}\;-18x + 5x}\\\begin{array}{l} = {x^3}\;-6{x^2}\; + 12x-8-{x^3}\; + x + 6{x^2}\;-18x + 5x\\ =  - 8\end{array}\end{array}\end{array}$

$\Rightarrow P = Q$

Phương pháp giải :

Biến đổi biểu thức $P$ và áp dụng hằng đẳng thức: ${\left( {A - B} \right)^3}\; = {A^3}\; - 3{A^2}B + 3A{B^2}\; - {B^3}$,

${\left( {A - B} \right)^2}\; = {A^2}\; - 2AB + {B^2}$

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}P = 8{x^3}\;-12{x^2}y + 6x{y^2}\;-{y^3}\; + 12{x^2}\;-12xy + 3{y^2}\; + 6x-3y + 11\\\,\,\,\,\,\begin{array}{*{20}{l}}{ = {{\left( {2x-y} \right)}^3}\; + 3{{\left( {2x-y} \right)}^2}\; + 3\left( {2x-y} \right) + 1 + 10}\\{\; = {{\left( {2x-y + 1} \right)}^3}\; + 10}\end{array}\end{array}$

Phương pháp giải :

Sử dụng các hằng đẳng thức: ${A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)$,${\left( {A - B} \right)^3}\; = {A^3}\; - 3{A^2}B + 3A{B^2}\; - {B^3}$và phép nhân đơn thức với đa thức  để rút gọn biểu thức đã cho.

Lời giải chi tiết :

Ta có

$\begin{array}{l}Q = {\left( {2x-{\rm{ 1}}} \right)^3}\;-{\rm{ 8}}x\left( {x + 1} \right)\left( {x-1} \right) + {\rm{ 2}}x\left( {6x - 5} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = 8{x^3} - 12{x^2} + 6x - 1 - 8x\left( {{x^2} - 1} \right) + 12{x^2} - 10x\\\,\,\,\,\,\,\, = 8{x^3} - 12{x^2} + 6x - 1 - 8{x^3} + 8x + 12{x^2} - 10x\\\,\,\,\,\,\,\, = 4x - 1\\ \Rightarrow a = 4;\,\,b = 1\end{array}$

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức: ${\left( {A - B} \right)^3}\; = {A^3}\; - 3{A^2}B + 3A{B^2}\; - {B^3}$,${\left( {A - B} \right)^2}\; = {A^2}\; - 2AB + {B^2}$,${\left( {A + B} \right)^3}\; = {A^3}\; + 3{A^2}B + 3A{B^2}\; + {B^3}$ đưa về bài toán tìm $x$.

Lời giải chi tiết :

Ta có

$\begin{array}{l}\;\,\,\,\,\,\,{(x + 1)^3} - {(x - 1)^3} - 6{(x - 1)^2} = 20\\ \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 - \left( {{x^3} - 3{x^2} + 3x - 1} \right) - 6\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) =  - 10\\ \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 - {x^3} + 3{x^2} - 3x + 1 - 6{x^2} + 12x - 6 =  - 10\\ \Leftrightarrow 12x - 4 = 20\\ \Leftrightarrow 12x = 20 + 4\\ \Leftrightarrow 12x = 24\\ \Leftrightarrow x = 2\end{array}$

$\Rightarrow a = 2$. Vậy ước của $2$ là $2$.

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức: ${\left( {A - B} \right)^3}\; = {A^3}\; - 3{A^2}B + 3A{B^2}\; - {B^3}$,${\left( {A - B} \right)^2}\; = {A^2}\; - 2AB + {B^2}$,${\left( {A + B} \right)^3}\; = {A^3}\; + 3{A^2}B + 3A{B^2}\; + {B^3}$ đưa về bài toán tìm $x$.

Lời giải chi tiết :

Ta có

$\begin{array}{l}\;P = {\left( {4x + 1} \right)^3}\;-\left( {4x + 3} \right)(16{x^2}\; + 3)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\begin{array}{*{20}{l}}{ = {{\left( {4x} \right)}^3}\; + 3.{{\left( {4x} \right)}^2}.1 + 3.4x{{.1}^2}\; + {1^3}\;-\left( {64{x^3}\; + 12x + 48{x^2}\; + 9} \right)}\\\begin{array}{l} = 64{x^3}\; + 48{x^2}\; + 12x + 1-64{x^3}\;-12x-48{x^2}\;-9\\ =  - 8\end{array}\end{array}\\Q = {\left( {x-2} \right)^3}\;-x\left( {x + 1} \right)\left( {x-1} \right) + 6x\left( {x-3} \right) + 5x\\\,\,\,\,\,\,\,\begin{array}{*{20}{l}}{ = {x^3}\;-3.{x^2}.2 + 3x{{.2}^2}\;-{2^3}\;-x\left( {{x^2}\;-1} \right) + 6{x^2}\;-18x + 5x}\\\begin{array}{l} = {x^3}\;-6{x^2}\; + 12x-8-{x^3}\; + x + 6{x^2}\;-18x + 5x\\ =  - 8\end{array}\end{array}\\ \Rightarrow P = Q\end{array}$

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức: ${\left( {A - B} \right)^3}\; = {A^3}\; - 3{A^2}B + 3A{B^2}\; - {B^3}$,${\left( {A - B} \right)^2}\; = {A^2}\; - 2AB + {B^2}$,${\left( {A + B} \right)^3}\; = {A^3}\; + 3{A^2}B + 3A{B^2}\; + {B^3}$ đưa về bài toán tìm $x$.

Lời giải chi tiết :

Ta có

$\begin{array}{l}\;A = 8{x^3}\;-12{x^2}y + 6x{y^2}\;-{y^3}\; + 12{x^2}\;-12xy + 3{y^2}\; + 6x-3y + 11\\\,\,\,\,\,\,\,\,\begin{array}{*{20}{l}}{ = {{\left( {2x} \right)}^3}\;-3.{{\left( {2x} \right)}^2}.y + 3.2x.y + {y^3}\; + 3\left( {4{x^2}\;-4xy + {y^2}} \right) + 3\left( {2x-y} \right) + 11}\\{\; = {{\left( {2x-y} \right)}^3}\; + 3{{\left( {2x-y} \right)}^2}\; + 3\left( {2x-y} \right) + 1 + 10}\\{\; = {{\left( {2x-y + 1} \right)}^3}\; + 10}\end{array}\end{array}$

Thay $\;2x-y = 9$ vào biểu thức $\;A$ ta có $\;A = {\left( {9 + 1} \right)^3} + 10 = 1010$

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức:${\left( {A - B} \right)^3}\; = {A^3}\; - 3{A^2}B + 3A{B^2}\; - {B^3}$ suy ra có ${a^3} - {b^3}$theo ${(a - b)^3}$. Thay $a - b = 4$ và $ab =  - 3$ vào tìm giá trị của Q

Lời giải chi tiết :

Ta có

$\begin{array}{l}{(a - b)^3} = {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3} = {a^3} - {b^3} - 3ab(a - b)\\ \Rightarrow {a^3} - {b^3} = {(a - b)^3} + 3ab(a - b)\\ \Leftrightarrow Q = {(a - b)^3} + 3ab(a - b)\end{array}$

Thay $a + b = 5$ và $ab =  - 3$ vào Q ta có

$\begin{array}{c}Q = {(a - b)^3} + 3ab(a - b)\\ = {4^3} + 3.( - 3).4\\ = 64 - 36\\ = 28\end{array}$

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức:${\left( {A + B} \right)^3}\; = {A^3}\; + 3{A^2}B + 3A{B^2}\; + {B^3}$ để phân tích biểu thức

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{c}{(a + b + c)^3} = {{\rm{[}}(a + b) + c{\rm{]}}^3}\\ = {(a + b)^3} + 3{(a + b)^2}c + 3(a + b){c^2} + {c^3}\\ = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} + 3{(a + b)^2}c + 3(a + b){c^2} + {c^3}\\ = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3ab(a + b) + 3{(a + b)^2}c + 3(a + b){c^2}\\ = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3(a + b)\left[ {ab + (a + b)c + {c^2}} \right]\\ = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3(a + b)(ab + ac + bc + {c^2})\\ = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3(a + b)\left[ {a(b + c) + c(b + c)} \right]\\ = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3(a + b)(b + c)(c + a)\end{array}$

Vậy ${(a + b + c)^3}$ = ${a^3} + {b^3} + {c^3} + 3(a + b)(b + c)(c + a)$

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức:${\left( {A + B} \right)^3}\; = {A^3}\; + 3{A^2}B + 3A{B^2}\; + {B^3}$ rút ${A^3}\; + {B^3}$theo ${\left( {A + B} \right)^3}\;$

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\;{(a + b)^3}\; = {a^3}\; + 3{a^2}b + 3a{b^2}\; + {b^3}\; = {a^3}\; + {b^3}\; + 3ab\left( {a + b} \right)\\ \Rightarrow {a^3}\; + {b^3}\; = {\left( {a + b} \right)^3}\;-3ab\left( {a + b} \right)\end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{c}\;B = {a^3}\; + {b^3}\; + {c^3}\;-3abc\;\\ = {(a + b)^3} - 3ab(a + b) + {c^3} - 3abc\\ = {(a + b)^3} + {c^3} - 3ab(a + b + c)\end{array}$

Tương tự, ta có ${(a + b + c)^3} - 3(a + b)c(a + b + c)$

$\Rightarrow B = {(a + b + c)^3} - 3(a + b)c(a + b + c) - 3ab(a + b + c)$

Mà $\;a + b + c = 0$ nên $\;B = 0 - 3(a + b)c.0 - 3ab.0 = 0$

Phương pháp giải :

Kiểm tra các đáp án dựa vào hai hằng đẳng thức Tổng và hiệu hai lập phương; sử dụng tính chất của phép cộng.

Lời giải chi tiết :

Hằng đẳng thức tổng hai lập phương:${A^3} + {B^3} = (A + B)({A^2} - AB + {B^2})$ nên A đúng ;

Hằng đẳng thức hiệu hai lập phương:${A^3} - {B^3} = (A - B)({A^2} + AB + {B^2})$ nên B đúng ;

$A + B = B + A \Rightarrow {(A + B)^3} = {(B + A)^3}$ nên C đúng ;

$A - B \ne B - A \Rightarrow {(A - B)^3} \ne {(B - A)^3}$ nên D sai .

Phương pháp giải :

Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương:${A^3} - {B^3} = (A - B)({A^2} + AB + {B^2})$

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}(x - 3y)\left( {{x^2} + 3xy + 9{y^2}} \right)\\ = (x - 3y)\left[ {{x^2} + x.3y + {{(3y)}^2}} \right]\\ = {x^3} - {(3y)^3}\end{array}$

Phương pháp giải :

Áp dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương: ${A^3} + {B^3} = (A + B)({A^2} - AB + {B^2})$

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}{x^3} + 512 = (x + 8)\left( {{x^2} - 8x + 64} \right)\\ \Rightarrow \left[ {} \right] = 8x\end{array}$

Phương pháp giải :

Áp dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương: ${A^3} + {B^3} = (A + B)({A^2} - AB + {B^2})$

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}A = {x^3} + 12 - (x + 2)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)\\ = {x^3} + 12 - ({x^3} + 8)\\ = {x^3} + 12 - {x^3} - 8\\ = 4\end{array}$

$A = 4 \vdots 2$ nên A không phải số nguyên tố.

$A = 4$ không chia hết cho 3.

$A = 4$ không chia hết cho 5.

$A = 4 = {2^2}$ nên A là một số chính phương.

Phương pháp giải :

Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương:$(A - B)({A^2} + AB + {B^2}) = {A^3} - {B^3}$ để rút gọn biểu thức, sau đó thay x = -5 vào để tính giá trị của biểu thức

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}125 + (x - 5)({x^3} + 5x + 25)\\ = 125 + {x^3} - 125\\ = {x^3}\end{array}$

Thay x = -5 vào biểu thức, ta có: ${( - 5)^3} =  - 125$

Phương pháp giải :

Áp dụng 7 hằng đẳng thức đã học.

Lời giải chi tiết :

Biểu thức $(x - 2).?$ là một hằng đẳng thức khi:

Cách 1.

$\begin{array}{l}(x - 2).(x - 2) = {(x - 2)^2} = {x^2} - 4x + 4\\ \Rightarrow ? = x - 2\end{array}$

Cách 2.

$\begin{array}{l}(x - 2).(x + 2) = {x^2} - 4\\ \Rightarrow ? = x + 2\end{array}$

Cách 3.

$\begin{array}{l}(x - 2).({x^2} + 2x + 4) = {x^3} - 8\\ \Rightarrow ? = {x^2} + 2x + 4\end{array}$

Có 3 cách điền vào dấu ?

Phương pháp giải :

Áp dụng các hằng đẳng thức:

${A^3} + {B^3} = (A + B)({A^2} - AB + {B^2})$;

${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}8 + {(4x - 3)^3} = {2^3} + {(4x - 3)^3}\\ = (2 + 4x - 3)\left[ {{2^2} - 2.(4x - 3) + {{(4x - 3)}^2}} \right]\\ = (4x - 1)(4 - 8x + 6 + 16{x^2} - 24x + 9)\\ = (4x - 1)(16{x^2} - 32x + 19)\end{array}$

Phương pháp giải :

Áp dụng các hằng đẳng thức:

${(A + B)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$;

${(A - B)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$;

${A^3} - {B^3} = (A - B)({A^2} + AB + {B^2})$

và quy tắc nhân đa thức để thực hiện phép tính.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}{(x + y)^3} - {\left( {x - 2y} \right)^3}\\ = (x + y - x + 2y)\left[ {{{(x + y)}^2} + (x + y)(x - 2y) + {{(x - 2y)}^2}} \right]\\ = 3y({x^2} + 2xy + {y^2} + {x^2} + xy - 2xy - 2{y^2} + {x^2} - 4xy + 4{y^2})\\ = 3y(3{x^2} - 3xy + 3{y^2})\\ = 9{x^2}y - 9x{y^2} + 9{y^3}\end{array}$

Phương pháp giải :

Áp dụng hằng đẳng thức: ${(A + B)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$ rồi tìm đưa về bài toán tìm $x$ đã biết.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}(x + 3)({x^2} - 3x + 9) - x({x^2} - 3) = 21\\ \Leftrightarrow {x^3} + 27 - {x^3} + 3x = 21\\ \Leftrightarrow 3x + 27 = 21\\ \Leftrightarrow 3x = 21 - 27\\ \Leftrightarrow 3x =  - 6\\ \Leftrightarrow x =  - 2\end{array}$

Phương pháp giải :

Áp dụng các hằng đẳng thức:

${A^3} - {B^3} = (A - B)({A^2} + AB + {B^2})$;

${A^2} - {B^2} = (A - B)(A + B)$

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}{a^6} - {b^6} = ({a^2} - {b^2})({a^4} + {a^2}{b^2} + {b^4})\\ = (a - b)(a + b)({a^4} + {a^2}{b^2} + {b^4})\end{array}$

Phương pháp giải :

+ Áp dụng hằng đẳng thức:

${A^3} + {B^3} = (A + B)({A^2} - AB + {B^2})$;

${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$

+ Thay $x + y = 1$ vào biểu thức để tính giá trị của A.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}A = {x^3} + 3xy + {y^3}\\ = {x^3} + {y^3} + 3xy\\ = (x + y)({x^2} - xy + {y^2}) + 3xy\\ = (x + y)({x^2} + 2xy + {y^2} - 3xy) + 3xy\\ = (x + y)\left[ {{{(x + y)}^2} - 3xy} \right] + 3xy\end{array}$

Thay $x + y = 1$ vào biểu thức A ta được:

$\begin{array}{l}A = (x + y)\left[ {{{(x + y)}^2} - 3xy} \right] + 3xy\\ = 1.\left( {{1^2} - 3xy} \right) + 3xy\\ = 1 - 3xy + 3xy\\ = 1\end{array}$.

Phương pháp giải :

+ Áp dụng hằng đẳng thức:

${A^3} + {B^3} = (A + B)({A^2} - AB + {B^2})$;

${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$

+ Thay $x + y = 1$ vào biểu thức để tính giá trị của A.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}A = {x^3} - 6xy - {y^3}\\ = {x^3} - {y^3} - 6xy\\ = (x - y)({x^2} + xy + {y^2}) - 6xy\\ = (x - y)({x^2} - 2xy + {y^2} + 3xy) - 6xy\\ = (x - y)\left[ {{{(x - y)}^2} + 3xy} \right] - 6xy\end{array}$

Thay x – y = 2 vào biểu thức A, ta được:

$\begin{array}{l}A = 2\left( {{2^2} + 3xy} \right) - 6xy\\ = 8 + 6xy - 6xy\\ = 8\end{array}$

Phương pháp giải :

Áp dụng hằng đẳng thức: ${A^3} + {B^3} = (A + B)({A^2} - AB + {B^2})$

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}A = {1^3} + {3^3} + {5^3} + {7^3} + {9^3} + {11^3}\\ = ({1^3} + {11^3}) + ({3^3} + {9^3}) + ({5^3} + {7^3})\\ = (1 + 11)({1^2} - 11 + {11^2}) + (3 + 9)({3^2} - 3.9 + {9^2}) + (5 + 7)({5^2} - 5.7 + {7^2})\\ = 12({1^2} - 11 + {11^2}) + 12({3^2} - 3.9 + {9^2}) + 12({5^2} - 5.7 + {7^2})\end{array}$

Vì mỗi số hạng trong tổng đều chia hết cho 12 nên $A \vdots 12$.

$\begin{array}{l}A = {1^3} + {3^3} + {5^3} + {7^3} + {9^3} + {11^3}\\ = ({1^3} + {9^3}) + ({3^3} + {7^3}) + {5^3} + {11^3}\\ = (1 + 9)({1^2} - 9 + {9^2}) + (3 + 7)({3^2} - 3.7 + {7^2}) + {5^3} + {11^3}\\ = 10({1^2} - 9 + {9^2}) + 10({3^2} - 3.7 + {7^2}) + {5^3} + {11^3}\end{array}$

Ta có:

$10 \vdots 5$$\Rightarrow 10({1^2} - 9 + {9^2}) \vdots 5$; $10({3^2} - 3.7 + {7^2}) \vdots 5$

${5^3} \vdots 5$.

Mà ${11^3}$ không chia hết cho 5 nên A không chia hết cho 5.

Phương pháp giải :

Áp dụng hằng đẳng thức: ${A^3} + {B^3} = (A + B)({A^2} - AB + {B^2})$

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}\left( {a - b + 1} \right)\left[ {{a^2} + {b^2} + ab - (a + 2b) + 1} \right] - ({a^3} + 1)\\ = \left[ {a + \left( {1 - b} \right)} \right]\left[ {{a^2} - (a - ab) + ({b^2} - 2b + 1)} \right] - \left( {{a^3} + 1} \right)\\ = \left[ {a + \left( {1 - b} \right)} \right]\left[ {{a^2} - a(1 - b) + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} \right] - \left( {{a^3} + 1} \right)\\ = {a^3} + {(1 - b)^3} - {a^3} - 1\\ = {(1 - b)^3} - 1\end{array}$

Phương pháp giải :

Áp dụng hằng đẳng thức: ${A^3} + {B^3} = (A + B)({A^2} - AB + {B^2})$

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a + b = m\\a - b = n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{m + n}}{2}\\b = \frac{{m - n}}{2}\end{array} \right.\\ \Rightarrow ab = \frac{{(m + n)(m - n)}}{{2.2}} = \frac{{{m^2} - {n^2}}}{4}\end{array}$

Biến đổi biểu thức A, ta được:

$\begin{array}{l}A = {a^3} + {b^3}\\ = (a + b)({a^2} - ab + {b^2})\\ = (a + b)\left[ {({a^2} - 2ab + {b^2}) + ab} \right]\\ = (a + b)\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + ab} \right]\end{array}$

Thay $a + b = m;a - b = n,ab = \frac{{{m^2} - {n^2}}}{4}$ vào A, ta có:

$\begin{array}{l}A = m\left( {{n^2} + \frac{{{m^2} - {n^2}}}{4}} \right)\\ = \frac{{4m{n^2}}}{4} + \frac{{{m^3}}}{4} - \frac{{m{n^2}}}{4}\\ = \frac{{3m{n^2}}}{4} + \frac{{{m^3}}}{4}\\ = \frac{1}{4}m\left( {3{n^2} + {m^2}} \right)\end{array}$

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức: ${A^2} - {B^2} = (A + B)(A - B)$;${A^3} - {B^3} = (A - B)({A^2} + AB + {B^2})$ để phân tích đa thức.

Lời giải chi tiết :

Theo đề ra ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{{x^{4\;}} + {x^3}y - x{y^{3\;}} - {y^4}}\\{ = {x^{4\;}} - {y^{4\;}} + {x^3}y - x{y^3}}\\{ = \left( {{x^{2\;}} - {y^2}} \right)\left( {{x^{2\;}} + {y^2}} \right) + xy\left( {{x^{2\;}} - {y^2}} \right)}\\{ = \left( {{x^{2\;}} - {y^2}} \right)\left( {{x^{2\;}} + {y^{2\;}} + xy} \right)}\\{ = \left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)\left( {{x^{2\;}} + xy + {y^2}} \right)}\\{ = \left( {x + y} \right)\left( {{x^{3\;}} - {y^3}} \right)}\end{array}$

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức: ${\left( {A - B} \right)^3}\; = {A^3}\; - 3{A^2}B + 3A{B^2}\; - {B^3}$;${A^3} - {B^3} = (A - B)({A^2} + AB + {B^2})$ để rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết :

Ta có

$\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {x - y} \right)}^{3\;}} + \left( {x - y} \right)({x^{2\;}} + xy + {y^2}) + 3({x^2}y - x{y^2})}\\{ = {x^{3\;}} - 3{x^2}y + 3x{y^{2\;}} - {y^{3\;}} + {x^{3\;}} - {y^{3\;}} + 3{x^2}y - 3x{y^2}}\\{ = 2{x^{3\;}} - 2{y^3}}\end{array}$

Phương pháp giải :

Áp dụng hằng đẳng thức ${(A - B)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$ để có được đẳng thức $xy = ab$; từ đó áp dụng hằng đẳng thức: ${A^3} - {B^3} = (A - B)({A^2} + AB + {B^2})$

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}x - y = a - b \Rightarrow {(x - y)^2} = {(a - b)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2xy + {y^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\end{array}$

Từ (2) ta có: ${x^2} + {y^2} = {a^2} + {b^2} \Rightarrow  - 2xy =  - 2ab \Leftrightarrow xy = ab$

Mặt khác:

$\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - {y^3} = (x - y)({x^2} + xy + {y^2})\\{a^3} - {b^3} = (a - b)({a^2} + ab + {b^2})\end{array} \right.$.

Vì $x - y = a - b;{x^2} + {y^2} = {a^2} + {b^2}$ và $xy = ab$ nên ${x^3} - {y^3} = {a^3} - {b^3}$

Phương pháp giải :

Sử dụng các hằng đẳng thức:${\left( {A + B} \right)^3}\; = {A^3}\; + 3{A^2}B + 3A{B^2}\; + {B^3};{A^3} + {B^3} = (A + B)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)$ để phân tích biểu thức

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}{a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc\\ = {(a + b)^3} - 3ab(a + b) + {c^3} - 3abc\\ = {(a + b)^3} + {c^3} - 3ab(a + b + c)\\ = (a + b + c)\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - (a + b)c + {c^2}} \right] - 3ab(a + b + c)\\ = (a + b + c)\left( {{a^2} + 2ab + {b^2} - ac - bc + {c^2} - 3ab} \right)\\ = (a + b + c)({a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - ac - bc)\end{array}$

Vì a + b + c = 0 => ${a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = 0$.

* Như vậy, với a + b + c = 0, ta có: ${a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc$ .

Phương pháp giải :

Sử dụng đẳng thức đặc biệt ${a^3}\; + {b^3}\; + {c^3}\; - 3abc = \;\left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2}\; + {b^2}\; + {c^2}\; - ab - bc - ac} \right)$;

Ta thấy a + b + c = 0 nên ${a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc$ .

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\;{(a + b)^3}\; = {a^3}\; + 3{a^2}b + 3a{b^2}\; + {b^3}\; = {a^3}\; + {b^3}\; + 3ab\left( {a + b} \right)\\ \Rightarrow {a^3}\; + {b^3}\; = {\left( {a + b} \right)^3}\;-3ab\left( {a + b} \right)\end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{c}\;B = {a^3}\; + {b^3}\; + {c^3}\;-3abc\;\\ = {(a + b)^3} - 3ab(a + b) + {c^3} - 3abc\\ = {(a + b)^3} + {c^3} - 3ab(a + b + c)\end{array}$

Tương tự, ta có ${(a + b + c)^3} - 3(a + b)c(a + b + c)$

$\Rightarrow B = {(a + b + c)^3} - 3(a + b)c(a + b + c) - 3ab(a + b + c)$

Mà $\;a + b + c = 0$ nên $\;B = 0 - 3(a + b)c.0 - 3ab.0 = 0$